Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 11 x + 30}{x^{2} - 4} \times \frac{x - 2}{x^{2} + 3 x - 40}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 11 x + 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $30$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 6, - 5$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 6) (x - 5)}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 3 x - 40}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(x - 6) (x - 5)}{x^{2} - 2^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 3 x - 40}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x - 6) (x - 5)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 3 x - 40}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 3 x - 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 40$ et dont la somme est $3$ .

$- 5, 8$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 6) (x - 5)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{(x - 5) (x + 8)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x - 5$ à partir de $(x - 6) (x - 5)$ .

$\frac{(x - 5) (x - 6)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{(x - 5) (x + 8)}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) (x - 6)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{(x - 5) (x + 8)}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 8}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{x - 6}{(x - 2) (x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 8}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 6}{(x - 2) (x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 8}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 6}{x + 2} \cdot \frac{1}{x + 8}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{x - 6}{x + 2}$ par $\frac{1}{x + 8}$ .

$\frac{x - 6}{(x + 2) (x + 8)}$