Algèbre Exemples

$\frac{5 x^{2} + 4 x - 1}{2 x + 6} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{5 x^{2} + 4 x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 (x) - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 1$ plus $5$

$\frac{5 x^{2} + (- 1 + 5) x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} - 1 x + 5 x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(5 x^{2} - 1 x) + 5 x - 1}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (5 x - 1) + 1 (5 x - 1)}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x - 1$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 x + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Étape 3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 6$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x) + 6} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 x + 2 \cdot 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 1}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x^{2} - 1}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(5 x - 1) (x + 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(5 x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (5 x - 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (5 x - 1)}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x - 1}{2 (x + 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 1}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $2 (x + 3)$ .

$\frac{5 x - 1}{(x + 3) \cdot 2} \cdot \frac{(x - 1) (x + 3)}{x - 1}$

Étape 6.2.2

Factorisez $x + 3$ à partir de $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{5 x - 1}{(x + 3) \cdot 2} \cdot \frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x - 1}{(x + 3) \cdot 2} \cdot \frac{(x + 3) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 6.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x - 1}{2} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{5 x - 1}{2}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(5 x - 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(5 x - 1) (x - 1)}{2 (x - 1)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x - 1}{2}$