Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 4 x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2} - 4 x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 4 x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x^{2} + 6 x + 8}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 6 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $6$ .

$2, 4$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{(x + 2) (x + 4)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 2) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{(x + 4) (x + 2)}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{(x + 4) (x + 2)}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x + 2}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x - 2$ à partir de ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{x - 4}{(x - 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 2}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 4}{(x - 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 2}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 4}{x - 2} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{x - 4}{x - 2}$ par $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{x - 4}{(x - 2) (x + 2)}$