Algèbre Exemples

$\sqrt{3 x - 8} + 1 = \sqrt{x + 5}$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 x - 8} = \sqrt{x + 5} - 1$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 x - 8}}^{2} = {(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x - 8}$ comme ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 x - 8)}^{1} = {(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$3 x - 8 = {(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{x + 5} - 1)}^{2}$ comme $(\sqrt{x + 5} - 1) (\sqrt{x + 5} - 1)$ .

$3 x - 8 = (\sqrt{x + 5} - 1) (\sqrt{x + 5} - 1)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(\sqrt{x + 5} - 1) (\sqrt{x + 5} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x - 8 = \sqrt{x + 5} (\sqrt{x + 5} - 1) - 1 (\sqrt{x + 5} - 1)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x - 8 = \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 (\sqrt{x + 5} - 1)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x - 8 = \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{x + 5}$ à la puissance $1$ .

$3 x - 8 = {\sqrt{x + 5}}^{1} \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{x + 5}$ à la puissance $1$ .

$3 x - 8 = {\sqrt{x + 5}}^{1} {\sqrt{x + 5}}^{1} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x - 8 = {\sqrt{x + 5}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x - 8 = {\sqrt{x + 5}}^{2} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x + 5}}^{2}$ comme $x + 5$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 5}$ comme ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x - 8 = {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x - 8 = {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 x - 8 = {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 x - 8 = {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 x - 8 = {(x + 5)}^{1} + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$3 x - 8 = x + 5 + \sqrt{x + 5} \cdot - 1 - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sqrt{x + 5}$ .

$3 x - 8 = x + 5 - 1 \cdot \sqrt{x + 5} - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \sqrt{x + 5}$ comme $- \sqrt{x + 5}$ .

$3 x - 8 = x + 5 - \sqrt{x + 5} - 1 \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.5

Réécrivez $- 1 \sqrt{x + 5}$ comme $- \sqrt{x + 5}$ .

$3 x - 8 = x + 5 - \sqrt{x + 5} - \sqrt{x + 5} - 1 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 x - 8 = x + 5 - \sqrt{x + 5} - \sqrt{x + 5} + 1$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $5$ et $1$ .

$3 x - 8 = x + 6 - \sqrt{x + 5} - \sqrt{x + 5}$

Étape 3.3.1.3.3

Soustrayez $\sqrt{x + 5}$ de $- \sqrt{x + 5}$ .

$3 x - 8 = x + 6 - 2 \sqrt{x + 5}$

Étape 4

Résolvez $- 2 \sqrt{x + 5}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $x + 6 - 2 \sqrt{x + 5} = 3 x - 8$ .

$x + 6 - 2 \sqrt{x + 5} = 3 x - 8$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 2 \sqrt{x + 5}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$6 - 2 \sqrt{x + 5} = 3 x - 8 - x$

Étape 4.2.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sqrt{x + 5} = 3 x - 8 - x - 6$

Étape 4.2.3

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$- 2 \sqrt{x + 5} = 2 x - 8 - 6$

Étape 4.2.4

Soustrayez $6$ de $- 8$ .

$- 2 \sqrt{x + 5} = 2 x - 14$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 2 \sqrt{x + 5})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 5}$ comme ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(- 2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2)}^{2} {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x + 5)}^{1} = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$4 (x + 5) = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot 5 = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $4$ par $5$ .

$4 x + 20 = {(2 x - 14)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(2 x - 14)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(2 x - 14)}^{2}$ comme $(2 x - 14) (2 x - 14)$ .

$4 x + 20 = (2 x - 14) (2 x - 14)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(2 x - 14) (2 x - 14)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 20 = 2 x (2 x - 14) - 14 (2 x - 14)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 20 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x - 14)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 20 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x + 20 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$4 x + 20 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x + 20 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + 20 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 14 - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $- 14$ par $2$ .

$4 x + 20 = 4 x^{2} - 28 x - 14 (2 x) - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 14$ .

$4 x + 20 = 4 x^{2} - 28 x - 28 x - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $- 14$ par $- 14$ .

$4 x + 20 = 4 x^{2} - 28 x - 28 x + 196$

Étape 6.3.1.3.2

Soustrayez $28 x$ de $- 28 x$ .

$4 x + 20 = 4 x^{2} - 56 x + 196$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 x^{2} - 56 x + 196 = 4 x + 20$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 56 x + 196 - 4 x = 20$

Étape 7.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- 56 x$ .

$4 x^{2} - 60 x + 196 = 20$

Étape 7.3

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 60 x + 196 - 20 = 0$

Étape 7.4

Soustrayez $20$ de $196$ .

$4 x^{2} - 60 x + 176 = 0$

Étape 7.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 60 x + 176$ .

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Étape 7.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 60 x + 176 = 0$

Étape 7.5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 60 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 15 x) + 176 = 0$

Étape 7.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $176$ .

$4 x^{2} + 4 (- 15 x) + 4 \cdot 44 = 0$

Étape 7.5.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (- 15 x)$ .

$4 (x^{2} - 15 x) + 4 \cdot 44 = 0$

Étape 7.5.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 15 x) + 4 \cdot 44$ .

$4 (x^{2} - 15 x + 44) = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez.

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Étape 7.5.2.1

Factorisez $x^{2} - 15 x + 44$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $44$ et dont la somme est $- 15$ .

$- 11, - 4$

Étape 7.5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 ((x - 11) (x - 4)) = 0$

Étape 7.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 11) (x - 4) = 0$

Étape 7.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 11 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 7.7

Définissez $x - 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.7.1

Définissez $x - 11$ égal à $0$ .

$x - 11 = 0$

Étape 7.7.2

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 11$

Étape 7.8

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.8.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 7.8.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 7.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 11) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 11, 4$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{3 x - 8} + 1 = \sqrt{x + 5}$ vrai.

$x = 4$