Algèbre Exemples

$3 x^{\frac{16}{5}} - 192 x^{2} = 0$

Étape 1

Déterminez un facteur commun $x^{2}$ présent dans chaque terme.

$3 {(x^{2})}^{\frac{8}{5}} - 192 x^{2}$

Étape 2

Remplacez $x^{2}$ par $u$ .

$3 {(u)}^{\frac{8}{5}} - 192 u = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Factorisez $3 u$ à partir de $3 u^{\frac{8}{5}} - 192 u$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $3 u$ à partir de $3 u^{\frac{8}{5}}$ .

$3 u (u^{\frac{3}{5}}) - 192 u = 0$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $3 u$ à partir de $- 192 u$ .

$3 u (u^{\frac{3}{5}}) + 3 u (- 64) = 0$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $3 u$ à partir de $3 u (u^{\frac{3}{5}}) + 3 u (- 64)$ .

$3 u (u^{\frac{3}{5}} - 64) = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $u^{\frac{3}{5}}$ comme ${(u^{\frac{1}{5}})}^{3}$ .

$3 u ({(u^{\frac{1}{5}})}^{3} - 64) = 0$

Étape 3.1.3

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$3 u ({(u^{\frac{1}{5}})}^{3} - 4^{3}) = 0$

Étape 3.1.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = u^{\frac{1}{5}}$ et $b = 4$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) ({(u^{\frac{1}{5}})}^{2} + u^{\frac{1}{5}} \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez.

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Étape 3.1.5.1

Simplifiez

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Étape 3.1.5.1.1

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

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Étape 3.1.5.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{1}{5} \cdot 2} + u^{\frac{1}{5}} \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 3.1.5.1.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $2$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{2}{5}} + u^{\frac{1}{5}} \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 3.1.5.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $u^{\frac{1}{5}}$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{2}{5}} + 4 u^{\frac{1}{5}} + 4^{2})) = 0$

Étape 3.1.5.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{2}{5}} + 4 u^{\frac{1}{5}} + 16)) = 0$

Étape 3.1.5.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16)) = 0$

Étape 3.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 u (u^{\frac{1}{5}} - 4) (4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$

$4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16 = 0$

Étape 3.3

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 3.4

Définissez $u^{\frac{1}{5}} - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $u^{\frac{1}{5}} - 4$ égal à $0$ .

$u^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $u^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{\frac{1}{5}} = 4$

Étape 3.4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $5$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(u^{\frac{1}{5}})}^{5} = 4^{5}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1.1

Simplifiez ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 4^{5}$

Étape 3.4.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 4^{5}$

Étape 3.4.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{1} = 4^{5}$

Étape 3.4.2.3.1.1.2

Simplifiez

$u = 4^{5}$

Étape 3.4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.2.1

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$u = 1024$

Étape 3.5

Définissez $4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16$ égal à $0$ .

$4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.5.2.1

Déterminez un facteur commun $u^{\frac{1}{5}}$ présent dans chaque terme.

$4 u^{\frac{1}{5}} {(u^{\frac{1}{5}})}^{2} + 16$

Étape 3.5.2.2

Remplacez $u^{\frac{1}{5}}$ par $u$ .

$4 (u) {(u)}^{2} + 16 = 0$

Étape 3.5.2.3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.5.2.3.1

Multipliez $u$ par ${(u)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.2.3.1.1

Déplacez ${(u)}^{2}$ .

$4 ({(u)}^{2} u) + 16 = 0$

Étape 3.5.2.3.1.2

Multipliez ${(u)}^{2}$ par $u$ .

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Étape 3.5.2.3.1.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$4 ({(u)}^{2} u^{1}) + 16 = 0$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 u^{2 + 1} + 16 = 0$

Étape 3.5.2.3.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 u^{3} + 16 = 0$

Étape 3.5.2.3.2

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$4 u^{3} = - 16$

Étape 3.5.2.3.3

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$4 u^{3} + 16 = 0$

Étape 3.5.2.3.4

Factorisez $4$ à partir de $4 u^{3} + 16$ .

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Étape 3.5.2.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 u^{3}$ .

$4 (u^{3}) + 16 = 0$

Étape 3.5.2.3.4.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$4 u^{3} + 4 \cdot 4 = 0$

Étape 3.5.2.3.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 u^{3} + 4 \cdot 4$ .

$4 (u^{3} + 4) = 0$

Étape 3.5.2.3.5

Divisez chaque terme dans $4 (u^{3} + 4) = 0$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.5.1

Divisez chaque terme dans $4 (u^{3} + 4) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (u^{3} + 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 3.5.2.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.2.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (u^{3} + 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 3.5.2.3.5.2.1.2

Divisez $u^{3} + 4$ par $1$ .

$u^{3} + 4 = \frac{0}{4}$

Étape 3.5.2.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.5.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$u^{3} + 4 = 0$

Étape 3.5.2.3.6

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$u^{3} = - 4$

Étape 3.5.2.3.7

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$u = \sqrt[3]{- 4}$

Étape 3.5.2.3.8

Simplifiez $\sqrt[3]{- 4}$ .

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Étape 3.5.2.3.8.1

Réécrivez $- 4$ comme ${(- 1)}^{3} \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.8.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$u = \sqrt[3]{- 1 (4)}$

Étape 3.5.2.3.8.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$u = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 4}$

Étape 3.5.2.3.8.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = - 1 \sqrt[3]{4}$

Étape 3.5.2.3.8.3

Réécrivez $- 1 \sqrt[3]{4}$ comme $- \sqrt[3]{4}$ .

$u = - \sqrt[3]{4}$

Étape 3.5.2.4

Remplacez $u$ par $u$ .

$u^{\frac{1}{5}} = - \sqrt[3]{4}$

Étape 3.5.2.5

Résolvez $u$ .

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Étape 3.5.2.5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $5$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(u^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Étape 3.5.2.5.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.5.2.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.5.2.1.1

Simplifiez ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Étape 3.5.2.5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Étape 3.5.2.5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{1} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Étape 3.5.2.5.2.1.1.2

Simplifiez

$u = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Étape 3.5.2.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.5.2.2.1

Simplifiez ${(- \sqrt[3]{4})}^{5}$ .

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Étape 3.5.2.5.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt[3]{4}$ .

$u = {(- 1)}^{5} {\sqrt[3]{4}}^{5}$

Étape 3.5.2.5.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$u = - {\sqrt[3]{4}}^{5}$

Étape 3.5.2.5.2.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{5}$ comme $\sqrt[3]{4^{5}}$ .

$u = - \sqrt[3]{4^{5}}$

Étape 3.5.2.5.2.2.1.4

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$u = - \sqrt[3]{1024}$

Étape 3.5.2.5.2.2.1.5

Réécrivez $1024$ comme $8^{3} \cdot 2$ .

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Étape 3.5.2.5.2.2.1.5.1

Factorisez $512$ à partir de $1024$ .

$u = - \sqrt[3]{512 (2)}$

Étape 3.5.2.5.2.2.1.5.2

Réécrivez $512$ comme $8^{3}$ .

$u = - \sqrt[3]{8^{3} \cdot 2}$

Étape 3.5.2.5.2.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = - (8 \sqrt[3]{2})$

Étape 3.5.2.5.2.2.1.7

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$u = - 8 \sqrt[3]{2}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 u (u^{\frac{1}{5}} - 4) (4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16) = 0$ vraie.

$u = 0, 1024, - 8 \sqrt[3]{2}$

Étape 4

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{2} = 0, 1024, - 8 \sqrt[3]{2}$

Étape 5

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Résolvez $x^{2} = 1024$ pour $x$ .

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Étape 6.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1024}$

Étape 6.2

Simplifiez $\pm \sqrt{1024}$ .

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Étape 6.2.1

Réécrivez $1024$ comme $32^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{32^{2}}$

Étape 6.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 32$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 32$

Étape 6.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 32$

Étape 6.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 32, - 32$

Étape 7

Résolvez $x^{2} = - 8 \sqrt[3]{2}$ pour $x$ .

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Étape 7.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 8 \sqrt[3]{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- 8 \sqrt[3]{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Réécrivez $- 8 \sqrt[3]{2}$ comme ${(2 i)}^{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2})$ .

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Étape 7.2.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 8$ .

$x = \pm \sqrt{- 4 (2) \sqrt[3]{2}}$

Étape 7.2.1.2

Réécrivez $- 4$ comme ${(2 i)}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(2 i)}^{2} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}$

Étape 7.2.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$x = \pm \sqrt{{(2 i)}^{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2})}$

Étape 7.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Étape 7.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Étape 7.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}, - 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0, 32, - 32, 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}, - 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$