Algèbre Exemples

$f (x) = {(x^{2} + 2)}^{2} + 3$

Étape 1

Identifiez le degré de la fonction.

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Étape 1.1

Simplifiez et remettez le polynôme dans l’ordre.

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez ${(x^{2} + 2)}^{2}$ comme $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2} + 2) + 3$

Étape 1.1.1.2

Développez $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) + 3$

Étape 1.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 (x^{2} + 2) + 3$

Étape 1.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Étape 1.1.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Étape 1.1.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 \cdot x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Étape 1.1.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4 + 3$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $2 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 3$

Étape 1.1.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 7$

Étape 1.2

Identifiez les exposants sur les variables dans chaque terme et additionnez-les entre eux pour déterminer le degré de chaque terme.

$x^{4} \to 4$

$4 x^{2} \to 2$

$7 \to 0$

Étape 1.3

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$4$

Étape 2

Le degré étant pair, les extrémités de la fonction ont la même direction.

Pair

Étape 3

Identifiez le coefficient directeur.

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Étape 3.1

Simplifiez le polynôme, puis remettez dans l’ordre de gauche à droite en commençant par le terme de degré le plus élevé.

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Réécrivez ${(x^{2} + 2)}^{2}$ comme $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2} + 2) + 3$

Étape 3.1.1.2

Développez $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) + 3$

Étape 3.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 (x^{2} + 2) + 3$

Étape 3.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Étape 3.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Étape 3.1.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Étape 3.1.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 \cdot x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Étape 3.1.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4 + 3$

Étape 3.1.1.3.2

Additionnez $2 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 3$

Étape 3.1.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 7$

Étape 3.2

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$x^{4}$

Étape 3.3

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$1$

Étape 4

Comme le coefficient directeur est positif, le graphe monte vers la droite.

Positif

Étape 5

Utilisez le degré de la fonction et le signe du coefficient directeur pour déterminer le comportement.

1. Pair et positif : monte vers la gauche et monte vers la droite.

2. Pair et négatif : descend vers la gauche et descend vers la droite.

3. Impair et positif : descend vers la gauche et monte vers la droite.

4. Impair et négatif : monte vers la gauche et descend vers la droite

Étape 6

Déterminez le comportement.

Monte vers la gauche et monte vers la droite

Étape 7