Algèbre Exemples

$\frac{3 y}{y^{2} - 17 y + 72} + \frac{12}{y^{2} - 81} - \frac{11}{y^{2} + y - 72}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $y^{2} - 17 y + 72$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $72$ et dont la somme est $- 17$ .

$- 9, - 8$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 y}{(y - 9) (y - 8)} + \frac{12}{y^{2} - 81} - \frac{11}{y^{2} + y - 72}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{3 y}{(y - 9) (y - 8)} + \frac{12}{y^{2} - 9^{2}} - \frac{11}{y^{2} + y - 72}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 9$ .

$\frac{3 y}{(y - 9) (y - 8)} + \frac{12}{(y + 9) (y - 9)} - \frac{11}{y^{2} + y - 72}$

Étape 1.3

Factorisez $y^{2} + y - 72$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 72$ et dont la somme est $1$ .

$- 8, 9$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 y}{(y - 9) (y - 8)} + \frac{12}{(y + 9) (y - 9)} - \frac{11}{(y - 8) (y + 9)}$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{3 y}{(y - 9) (y - 8)}$ par $\frac{y + 9}{y + 9}$ .

$\frac{3 y}{(y - 9) (y - 8)} \cdot \frac{y + 9}{y + 9} + \frac{12}{(y + 9) (y - 9)} - \frac{11}{(y - 8) (y + 9)}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{3 y}{(y - 9) (y - 8)}$ par $\frac{y + 9}{y + 9}$ .

$\frac{3 y (y + 9)}{(y - 9) (y - 8) (y + 9)} + \frac{12}{(y + 9) (y - 9)} - \frac{11}{(y - 8) (y + 9)}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{12}{(y + 9) (y - 9)}$ par $\frac{y - 8}{y - 8}$ .

$\frac{3 y (y + 9)}{(y - 9) (y - 8) (y + 9)} + \frac{12}{(y + 9) (y - 9)} \cdot \frac{y - 8}{y - 8} - \frac{11}{(y - 8) (y + 9)}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{12}{(y + 9) (y - 9)}$ par $\frac{y - 8}{y - 8}$ .

$\frac{3 y (y + 9)}{(y - 9) (y - 8) (y + 9)} + \frac{12 (y - 8)}{(y + 9) (y - 9) (y - 8)} - \frac{11}{(y - 8) (y + 9)}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{11}{(y - 8) (y + 9)}$ par $\frac{y - 9}{y - 9}$ .

$\frac{3 y (y + 9)}{(y - 9) (y - 8) (y + 9)} + \frac{12 (y - 8)}{(y + 9) (y - 9) (y - 8)} - (\frac{11}{(y - 8) (y + 9)} \cdot \frac{y - 9}{y - 9})$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{11}{(y - 8) (y + 9)}$ par $\frac{y - 9}{y - 9}$ .

$\frac{3 y (y + 9)}{(y - 9) (y - 8) (y + 9)} + \frac{12 (y - 8)}{(y + 9) (y - 9) (y - 8)} - \frac{11 (y - 9)}{(y - 8) (y + 9) (y - 9)}$

Étape 2.7

Réorganisez les facteurs de $(y + 9) (y - 9) (y - 8)$ .

$\frac{3 y (y + 9)}{(y - 9) (y - 8) (y + 9)} + \frac{12 (y - 8)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)} - \frac{11 (y - 9)}{(y - 8) (y + 9) (y - 9)}$

Étape 2.8

Réorganisez les facteurs de $(y - 8) (y + 9) (y - 9)$ .

$\frac{3 y (y + 9)}{(y - 9) (y - 8) (y + 9)} + \frac{12 (y - 8)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)} - \frac{11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 y (y + 9) + 12 (y - 8) - 11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 y \cdot y + 3 y \cdot 9 + 12 (y - 8) - 11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Étape 4.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 9 + 12 (y - 8) - 11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Étape 4.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{3 y^{2} + 3 y \cdot 9 + 12 (y - 8) - 11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Étape 4.3

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{3 y^{2} + 27 y + 12 (y - 8) - 11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 y^{2} + 27 y + 12 y + 12 \cdot - 8 - 11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Étape 4.5

Multipliez $12$ par $- 8$ .

$\frac{3 y^{2} + 27 y + 12 y - 96 - 11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 y^{2} + 27 y + 12 y - 96 - 11 y - 11 \cdot - 9}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Étape 4.7

Multipliez $- 11$ par $- 9$ .

$\frac{3 y^{2} + 27 y + 12 y - 96 - 11 y + 99}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Étape 5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.1

Additionnez $27 y$ et $12 y$ .

$\frac{3 y^{2} + 39 y - 96 - 11 y + 99}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Étape 5.2

Soustrayez $11 y$ de $39 y$ .

$\frac{3 y^{2} + 28 y - 96 + 99}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Étape 5.3

Additionnez $- 96$ et $99$ .

$\frac{3 y^{2} + 28 y + 3}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$