Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x - 3} + 5$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x - 3} + 5$ comme une équation.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x - 3} + 5$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y - 3} + 5$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y - 3} + 5 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y - 3} + 5 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y - 3} = x - 5$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{y - 3})}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y - 3}$ comme ${(y - 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(\frac{1}{2} \cdot {(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(\frac{1}{2} \cdot {(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Associez les fractions.

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Étape 3.4.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(y - 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(\frac{{(y - 3)}^{\frac{1}{3}}}{2})}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(y - 3)}^{\frac{1}{3}}}{2}$ .

$\frac{{({(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}} = {(x - 5)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} = {(x - 5)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(y - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} = {(x - 5)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(y - 3)}^{1}}{2^{3}} = {(x - 5)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.2.2

Simplifiez

$\frac{y - 3}{2^{3}} = {(x - 5)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{y - 3}{8} = {(x - 5)}^{3}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - 5)}^{3}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{y - 3}{8} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 3.4.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{y - 3}{8} = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 3.4.3.1.2.2

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$\frac{y - 3}{8} = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

Étape 3.4.3.1.2.3

Multipliez $25$ par $3$ .

$\frac{y - 3}{8} = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

Étape 3.4.3.1.2.4

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$\frac{y - 3}{8} = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $8$ .

$8 \frac{y - 3}{8} = 8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$

Étape 3.5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{y - 3}{8} = 8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$

Étape 3.5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y - 3 = 8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.2.1

Simplifiez $8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 3 = 8 x^{3} + 8 (- 15 x^{2}) + 8 (75 x) + 8 \cdot - 125$

Étape 3.5.2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 3.5.2.2.1.2.1

Multipliez $- 15$ par $8$ .

$y - 3 = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 8 (75 x) + 8 \cdot - 125$

Étape 3.5.2.2.1.2.2

Multipliez $75$ par $8$ .

$y - 3 = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x + 8 \cdot - 125$

Étape 3.5.2.2.1.2.3

Multipliez $8$ par $- 125$ .

$y - 3 = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 1000$

Étape 3.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.3.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 1000 + 3$

Étape 3.5.3.2

Additionnez $- 1000$ et $3$ .

$y = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + 5)}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.3

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 5 \cdot 2}{2})}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $5$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2})}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 (\frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{3}}{2^{3}}) - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 (\frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{3}}{8}) - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.8

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.2.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = 8 (\frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{3}}{8}) - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = {(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.9

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = {\sqrt[3]{x - 3}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.10.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 3}}^{3}$ comme $x - 3$ .

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Étape 5.2.3.10.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 3}$ comme ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = {({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.10.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = {(x - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.10.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = {(x - 3)}^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.10.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.10.1.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.10.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = (x - 3) + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.10.1.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.10.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 3}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 3 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.10.3

Multipliez $10$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10^{2} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.10.4

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 100 + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.10.5

Multipliez $100$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 10^{3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.10.6

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 3 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 1000 - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.11

Additionnez $- 3$ et $1000$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + 5)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.13

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.14

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 5 \cdot 2}{2})}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.16

Multipliez $5$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 {(\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2})}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.17

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 \frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2}}{2^{2}} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.18

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 120 \frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2}}{4} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.19

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.19.1

Factorisez $4$ à partir de $- 120$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 4 (- 30) (\frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2}}{4}) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.19.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 4 \cdot (- 30 \frac{{(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2}}{4}) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.19.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 {(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2} + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.20

Réécrivez ${(\sqrt[3]{x - 3} + 10)}^{2}$ comme $(\sqrt[3]{x - 3} + 10) (\sqrt[3]{x - 3} + 10)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 ((\sqrt[3]{x - 3} + 10) (\sqrt[3]{x - 3} + 10)) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.21

Développez $(\sqrt[3]{x - 3} + 10) (\sqrt[3]{x - 3} + 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{x - 3} (\sqrt[3]{x - 3} + 10) + 10 (\sqrt[3]{x - 3} + 10)) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.21.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10 + 10 (\sqrt[3]{x - 3} + 10)) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.21.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \cdot 10) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.22

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.22.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.22.1.1

Multipliez $\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3}$ .

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Étape 5.2.3.22.1.1.1

Élevez $\sqrt[3]{x - 3}$ à la puissance $1$ .

Étape 5.2.3.22.1.1.2

Élevez $\sqrt[3]{x - 3}$ à la puissance $1$ .

Étape 5.2.3.22.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 ({\sqrt[3]{x - 3}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \cdot 10) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.22.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 ({\sqrt[3]{x - 3}}^{2} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \cdot 10) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.22.1.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 3}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \cdot 10) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.22.1.3

Déplacez $10$ à gauche de $\sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 10 \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \cdot 10) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.22.1.4

Multipliez $10$ par $10$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 10 \sqrt[3]{x - 3} + 100) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.22.2

Additionnez $10 \sqrt[3]{x - 3}$ et $10 \sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 20 \sqrt[3]{x - 3} + 100) + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.23

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 30 (20 \sqrt[3]{x - 3}) - 30 \cdot 100 + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.24

Simplifiez

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Étape 5.2.3.24.1

Multipliez $20$ par $- 30$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \cdot 100 + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.24.2

Multipliez $- 30$ par $100$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 600 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.25

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 600 (\frac{\sqrt[3]{x - 3}}{2} + 5) - 997$

Étape 5.2.3.26

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

Étape 5.2.3.27

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

Étape 5.2.3.28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Étape 5.2.3.29

Multipliez $5$ par $2$ .

Étape 5.2.3.30

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.30.1

Factorisez $2$ à partir de $600$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 2 (300) (\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2}) - 997$

Étape 5.2.3.30.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 2 \cdot (300 (\frac{\sqrt[3]{x - 3} + 10}{2})) - 997$

Étape 5.2.3.30.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 300 (\sqrt[3]{x - 3} + 10) - 997$

Étape 5.2.3.31

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \cdot 10 - 997$

Étape 5.2.3.32

Multipliez $300$ par $10$ .

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x + 997 + 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 3000 - 997$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Soustrayez $30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ de $30 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 0 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 3000 - 997$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $x + 997$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x - 3} + 3000 - 997$

Étape 5.2.4.1.3

Additionnez $- 3000$ et $3000$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} + 0 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 997$

Étape 5.2.4.1.4

Additionnez $x + 997 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 997 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 997$

Étape 5.2.4.1.5

Soustrayez $997$ de $997$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 0 + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \sqrt[3]{x - 3}$

Étape 5.2.4.1.6

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 300 \sqrt[3]{x - 3} - 600 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \sqrt[3]{x - 3}$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $600 \sqrt[3]{x - 3}$ de $300 \sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x - 300 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \sqrt[3]{x - 3}$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 300 \sqrt[3]{x - 3} + 300 \sqrt[3]{x - 3}$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Additionnez $- 300 \sqrt[3]{x - 3}$ et $300 \sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x + 0$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{(8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) - 3} + 5$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $3$ de $- 997$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 1000} + 5$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 1000$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{3}$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3}) - 120 x^{2} + 600 x - 1000} + 5$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $8$ à partir de $- 120 x^{2}$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3}) + 8 (- 15 x^{2}) + 600 x - 1000} + 5$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $8$ à partir de $600 x$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3}) + 8 (- 15 x^{2}) + 8 (75 x) - 1000} + 5$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $8$ à partir de $- 1000$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 x^{3} + 8 (- 15 x^{2}) + 8 (75 x) + 8 \cdot - 125} + 5$

Étape 5.3.3.2.5

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{3} + 8 (- 15 x^{2})$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3} - 15 x^{2}) + 8 (75 x) + 8 \cdot - 125} + 5$

Étape 5.3.3.2.6

Factorisez $8$ à partir de $8 (x^{3} - 15 x^{2}) + 8 (75 x)$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x) + 8 \cdot - 125} + 5$

Étape 5.3.3.2.7

Factorisez $8$ à partir de $8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x) + 8 \cdot - 125$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)} + 5$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $8 (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$ comme $2^{3} (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3})$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{2^{3} (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)} + 5$

Étape 5.3.3.3.2

Réécrivez $- 125$ comme ${(- 5)}^{3}$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{2^{3} (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3})} + 5$

Étape 5.3.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot (2 \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}}) + 5$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}}$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot (2 (\sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}})) + 5$

Étape 5.3.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \frac{1}{2} \cdot (2 \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}}) + 5$

Étape 5.3.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}} + 5$

Étape 5.3.3.6

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125} + 5$

Étape 5.3.3.7

Réécrivez $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.7.1

Factorisez $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.3.3.7.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1$

Étape 5.3.3.7.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

Étape 5.3.3.7.1.3

Remplacez $5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $5$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.3.3.7.1.3.1

Remplacez $5$ dans le polynôme.

$5^{3} - 15 \cdot 5^{2} + 75 \cdot 5 - 125$

Étape 5.3.3.7.1.3.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$125 - 15 \cdot 5^{2} + 75 \cdot 5 - 125$

Étape 5.3.3.7.1.3.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$125 - 15 \cdot 25 + 75 \cdot 5 - 125$

Étape 5.3.3.7.1.3.4

Multipliez $- 15$ par $25$ .

$125 - 375 + 75 \cdot 5 - 125$

Étape 5.3.3.7.1.3.5

Soustrayez $375$ de $125$ .

$- 250 + 75 \cdot 5 - 125$

Étape 5.3.3.7.1.3.6

Multipliez $75$ par $5$ .

$- 250 + 375 - 125$

Étape 5.3.3.7.1.3.7

Additionnez $- 250$ et $375$ .

$125 - 125$

Étape 5.3.3.7.1.3.8

Soustrayez $125$ de $125$ .

$0$

Étape 5.3.3.7.1.4

Comme $5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125}{x - 5}$

Étape 5.3.3.7.1.5

Divisez $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ par $x - 5$ .

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Étape 5.3.3.7.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$15 x^{2}$

$75 x$

$125$

Étape 5.3.3.7.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$

Étape 5.3.3.7.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Étape 5.3.3.7.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Étape 5.3.3.7.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Étape 5.3.3.7.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$

Étape 5.3.3.7.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 10 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$

Étape 5.3.3.7.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$50 x$

Étape 5.3.3.7.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 10 x^{2} + 50 x$

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$

Étape 5.3.3.7.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$

Étape 5.3.3.7.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$

Étape 5.3.3.7.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $25 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$

Étape 5.3.3.7.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	-	$125$

Étape 5.3.3.7.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $25 x - 125$

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	+	$125$

Étape 5.3.3.7.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$75 x$	-	$125$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$75 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$50 x$
							+	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	+	$125$
										$0$

Étape 5.3.3.7.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 10 x + 25$

Étape 5.3.3.7.1.6

Écrivez $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ comme un ensemble de facteurs.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{(x - 5) (x^{2} - 10 x + 25)} + 5$

Étape 5.3.3.7.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.3.7.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{(x - 5) (x^{2} - 10 x + 5^{2})} + 5$

Étape 5.3.3.7.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 5.3.3.7.2.3

Réécrivez le polynôme.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{(x - 5) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})} + 5$

Étape 5.3.3.7.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{(x - 5) {(x - 5)}^{2}} + 5$

Étape 5.3.3.7.3

Associez les facteurs similaires.

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Étape 5.3.3.7.3.1

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{(x - 5) {(x - 5)}^{2}} + 5$

Étape 5.3.3.7.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{1 + 2}} + 5$

Étape 5.3.3.7.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{3}} + 5$

Étape 5.3.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = x - 5 + 5$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 5 + 5$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3} - 120 x^{2} + 600 x - 997$