Algèbre Exemples

$\frac{7}{x + 5} \leq \frac{8}{x + 6}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{8}{x + 6}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{7}{x + 5} - \frac{8}{x + 6} \leq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{7}{x + 5} - \frac{8}{x + 6}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{7}{x + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{7}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{8}{x + 6} \leq 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{8}{x + 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{7}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{8}{x + 6} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \leq 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 5) (x + 6)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{7}{x + 5}$ par $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8}{x + 6} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \leq 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{8}{x + 6}$ par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8 (x + 5)}{(x + 6) (x + 5)} \leq 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 6) (x + 5)$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 (x + 6) - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x + 7 \cdot 6 - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $7$ par $6$ .

$\frac{7 x + 42 - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x + 42 - 8 x - 8 \cdot 5}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$\frac{7 x + 42 - 8 x - 40}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Étape 2.5.5

Soustrayez $8 x$ de $7 x$ .

$\frac{- x + 42 - 40}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Étape 2.5.6

Soustrayez $40$ de $42$ .

$\frac{- x + 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Étape 2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Étape 2.7

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Étape 2.9

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 6

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 2$

$x = - 5$

$x = - 6$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 2, - 5, - 6$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 5) (x + 6) = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 9.2.2

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.2.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 9.2.3

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.3.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 9.2.3.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 9.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 5) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = - 5, - 6$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 5$

$- 5 < x < 2$

$x > 2$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{7}{(- 8) + 5} \leq \frac{8}{(- 8) + 6}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 2.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $- 4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 6 < x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5.5$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 5.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{7}{(- 5.5) + 5} \leq \frac{8}{(- 5.5) + 6}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 14$ est inférieur au côté droit $16$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{7}{(0) + 5} \leq \frac{8}{(0) + 6}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $1.4$ est supérieur au côté droit $1.\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{7}{(4) + 5} \leq \frac{8}{(4) + 6}$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $0.\overline{7}$ est inférieur au côté droit $0.8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 6$ Faux

$- 6 < x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 6$ Faux

$- 6 < x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 6 < x < - 5$ ou $x \geq 2$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 6 < x < - 5 or x \geq 2$

Notation d’intervalle :

$(- 6, - 5) \cup [2, \infty)$

Étape 14