Algèbre Exemples

$y = - 2 x + 5$ $y = - x^{2} - 5 x - 2$

Étape 1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$- 2 x + 5 = - x^{2} - 5 x - 2$

Étape 2

Résolvez $- 2 x + 5 = - x^{2} - 5 x - 2$ pour $x$ .

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Étape 2.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- x^{2} - 5 x - 2 = - 2 x + 5$

Étape 2.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - 5 x - 2 + 2 x = 5$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 5 x$ et $2 x$ .

$- x^{2} - 3 x - 2 = 5$

Étape 2.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - 3 x - 2 - 5 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $5$ de $- 2$ .

$- x^{2} - 3 x - 7 = 0$

Étape 2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = - x^{2} - 5 x - 2$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 3$ et $c = - 7$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 7)}}{2 \cdot - 1} + y = - x^{2} - 5 x - 2$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 7}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 7$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 7}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.3

Soustrayez $28$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (19)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{19}}{- 2}$

Étape 2.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 7}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 7$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 7}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.3

Soustrayez $28$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (19)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{19}}{- 2}$

Étape 2.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Étape 2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 7}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 7$ .

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Étape 2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 7}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.8.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.8.1.3

Soustrayez $28$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.8.1.4

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.8.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (19)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.8.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{19}}{- 2}$

Étape 2.8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Étape 2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$

Étape 2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}, - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$

Étape 3

Évaluez $y$ quand $x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $x$ par $- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ .

$y = - {(- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2})}^{2} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2

Simplifiez $- {(- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2})}^{2} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ .

$y = - ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 + i \sqrt{19}}{2})}^{2}) - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ .

$y = - ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 + i \sqrt{19})}^{2}}{2^{2}}) - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{(3 + i \sqrt{19})}^{2}}{2^{2}} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 3.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$y = {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{(3 + i \sqrt{19})}^{2}}{2^{2}} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = {(- 1)}^{2 + 1} \frac{{(3 + i \sqrt{19})}^{2}}{2^{2}} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = {(- 1)}^{3} \frac{{(3 + i \sqrt{19})}^{2}}{2^{2}} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - \frac{{(3 + i \sqrt{19})}^{2}}{2^{2}} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = - \frac{{(3 + i \sqrt{19})}^{2}}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.5

Réécrivez ${(3 + i \sqrt{19})}^{2}$ comme $(3 + i \sqrt{19}) (3 + i \sqrt{19})$ .

$y = - \frac{(3 + i \sqrt{19}) (3 + i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.6

Développez $(3 + i \sqrt{19}) (3 + i \sqrt{19})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3 (3 + i \sqrt{19}) + i \sqrt{19} (3 + i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3 \cdot 3 + 3 (i \sqrt{19}) + i \sqrt{19} (3 + i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3 \cdot 3 + 3 (i \sqrt{19}) + i \sqrt{19} \cdot 3 + i \sqrt{19} (i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.7.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = - \frac{9 + 3 (i \sqrt{19}) + i \sqrt{19} \cdot 3 + i \sqrt{19} (i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $i \sqrt{19}$ .

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 \cdot (i \sqrt{19}) + i \sqrt{19} (i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.3

Multipliez $i \sqrt{19} (i \sqrt{19})$ .

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Étape 3.2.1.7.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} + i^{1} i \sqrt{19} \sqrt{19}}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} + i^{1} i^{1} \sqrt{19} \sqrt{19}}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} + i^{1 + 1} \sqrt{19} \sqrt{19}}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} + i^{2} \sqrt{19} \sqrt{19}}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.3.5

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} + i^{2} ({\sqrt{19}}^{1} \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.3.6

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} + i^{2} ({\sqrt{19}}^{1} {\sqrt{19}}^{1})}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} + i^{2} {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} + i^{2} {\sqrt{19}}^{2}}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} - 1 {\sqrt{19}}^{2}}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.5

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

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Étape 3.2.1.7.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} - 1 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} - 1 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} - 1 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.7.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} - 1 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} - 1 \cdot 19^{1}}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} - 1 \cdot 19}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.1.6

Multipliez $- 1$ par $19$ .

$y = - \frac{9 + 3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} - 19}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.2

Soustrayez $19$ de $9$ .

$y = - \frac{3 i \sqrt{19} + 3 i \sqrt{19} - 10}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.7.3

Additionnez $3 i \sqrt{19}$ et $3 i \sqrt{19}$ .

$y = - \frac{6 i \sqrt{19} - 10}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.8

Remettez dans l’ordre $6 i \sqrt{19}$ et $- 10$ .

$y = - \frac{- 10 + 6 i \sqrt{19}}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.9

Annulez le facteur commun à $- 10 + 6 i \sqrt{19}$ et $4$ .

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Étape 3.2.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$y = - \frac{2 (- 5) + 6 i \sqrt{19}}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.9.2

Factorisez $2$ à partir de $6 i \sqrt{19}$ .

$y = - \frac{2 (- 5) + 2 (3 i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.9.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 5) + 2 (3 i \sqrt{19})$ .

$y = - \frac{2 (- 5 + 3 i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.9.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1.9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = - \frac{2 (- 5 + 3 i \sqrt{19})}{2 \cdot 2} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.9.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{2 (- 5 + 3 i \sqrt{19})}{2 \cdot 2} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.9.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{- 5 + 3 i \sqrt{19}}{2} - 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 3.2.1.10

Multipliez $- 5 (- \frac{3 + i \sqrt{19}}{2})$ .

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Étape 3.2.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$y = - \frac{- 5 + 3 i \sqrt{19}}{2} + 5 \frac{3 + i \sqrt{19}}{2} - 2$

Étape 3.2.1.10.2

Associez $5$ et $\frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ .

$y = - \frac{- 5 + 3 i \sqrt{19}}{2} + \frac{5 (3 + i \sqrt{19})}{2} - 2$

Étape 3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - 2 + \frac{- (- 5 + 3 i \sqrt{19}) + 5 (3 + i \sqrt{19})}{2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 2 + \frac{- - 5 - (3 i \sqrt{19}) + 5 (3 + i \sqrt{19})}{2}$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$y = - 2 + \frac{5 - (3 i \sqrt{19}) + 5 (3 + i \sqrt{19})}{2}$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = - 2 + \frac{5 - 3 (i \sqrt{19}) + 5 (3 + i \sqrt{19})}{2}$

Étape 3.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 2 + \frac{5 - 3 i \sqrt{19} + 5 \cdot 3 + 5 (i \sqrt{19})}{2}$

Étape 3.2.3.5

Multipliez $5$ par $3$ .

$y = - 2 + \frac{5 - 3 i \sqrt{19} + 15 + 5 i \sqrt{19}}{2}$

Étape 3.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $5$ et $15$ .

$y = - 2 + \frac{- 3 i \sqrt{19} + 20 + 5 i \sqrt{19}}{2}$

Étape 3.2.4.2

Additionnez $- 3 i \sqrt{19}$ et $5 i \sqrt{19}$ .

$y = - 2 + \frac{2 i \sqrt{19} + 20}{2}$

Étape 3.2.4.3

Remettez dans l’ordre $2 i \sqrt{19}$ et $20$ .

$y = - 2 + \frac{20 + 2 i \sqrt{19}}{2}$

Étape 3.2.4.4

Annulez le facteur commun à $20 + 2 i \sqrt{19}$ et $2$ .

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Étape 3.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$y = - 2 + \frac{2 \cdot 10 + 2 i \sqrt{19}}{2}$

Étape 3.2.4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 i \sqrt{19}$ .

$y = - 2 + \frac{2 \cdot 10 + 2 (i \sqrt{19})}{2}$

Étape 3.2.4.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (10) + 2 (i \sqrt{19})$ .

$y = - 2 + \frac{2 (10 + i \sqrt{19})}{2}$

Étape 3.2.4.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.4.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = - 2 + \frac{2 (10 + i \sqrt{19})}{2 (1)}$

Étape 3.2.4.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = - 2 + \frac{2 (10 + i \sqrt{19})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.4.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = - 2 + \frac{10 + i \sqrt{19}}{1}$

Étape 3.2.4.4.4.4

Divisez $10 + i \sqrt{19}$ par $1$ .

$y = - 2 + 10 + i \sqrt{19}$

Étape 3.2.4.5

Additionnez $- 2$ et $10$ .

$y = 8 + i \sqrt{19}$

Étape 4

Évaluez $y$ quand $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $x$ par $- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$ .

$y = - {(- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2})}^{2} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2

Simplifiez $- {(- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2})}^{2} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$ .

$y = - ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 - i \sqrt{19}}{2})}^{2}) - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$ .

$y = - ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 - i \sqrt{19})}^{2}}{2^{2}}) - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{(3 - i \sqrt{19})}^{2}}{2^{2}} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 4.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$y = {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{(3 - i \sqrt{19})}^{2}}{2^{2}} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = {(- 1)}^{2 + 1} \frac{{(3 - i \sqrt{19})}^{2}}{2^{2}} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = {(- 1)}^{3} \frac{{(3 - i \sqrt{19})}^{2}}{2^{2}} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - \frac{{(3 - i \sqrt{19})}^{2}}{2^{2}} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = - \frac{{(3 - i \sqrt{19})}^{2}}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.5

Réécrivez ${(3 - i \sqrt{19})}^{2}$ comme $(3 - i \sqrt{19}) (3 - i \sqrt{19})$ .

$y = - \frac{(3 - i \sqrt{19}) (3 - i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.6

Développez $(3 - i \sqrt{19}) (3 - i \sqrt{19})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3 (3 - i \sqrt{19}) - i \sqrt{19} (3 - i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3 \cdot 3 + 3 (- i \sqrt{19}) - i \sqrt{19} (3 - i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3 \cdot 3 + 3 (- i \sqrt{19}) - i \sqrt{19} \cdot 3 - i \sqrt{19} (- i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.7.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = - \frac{9 + 3 (- i \sqrt{19}) - i \sqrt{19} \cdot 3 - i \sqrt{19} (- i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - \frac{9 - 3 (i \sqrt{19}) - i \sqrt{19} \cdot 3 - i \sqrt{19} (- i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} - i \sqrt{19} (- i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.4

Multipliez $- i \sqrt{19} (- i \sqrt{19})$ .

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Étape 4.2.1.7.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + 1 i \sqrt{19} (i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.4.2

Multipliez $\sqrt{19}$ par $1$ .

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + \sqrt{19} i (i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.4.3

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1} \sqrt{19} i i}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.4.4

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1} {\sqrt{19}}^{1} i i}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1 + 1} i i}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2} i i}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.4.7

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2} (i^{1} i)}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.4.8

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2} (i^{1} i^{1})}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.4.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2} i^{1 + 1}}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.4.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2} i^{2}}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.5

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

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Étape 4.2.1.7.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.7.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + 19^{1} i^{2}}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + 19 i^{2}}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} + 19 \cdot - 1}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.1.7

Multipliez $19$ par $- 1$ .

$y = - \frac{9 - 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} - 19}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.2

Soustrayez $19$ de $9$ .

$y = - \frac{- 3 i \sqrt{19} - 3 i \sqrt{19} - 10}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.7.3

Soustrayez $3 i \sqrt{19}$ de $- 3 i \sqrt{19}$ .

$y = - \frac{- 6 i \sqrt{19} - 10}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.8

Remettez dans l’ordre $- 6 i \sqrt{19}$ et $- 10$ .

$y = - \frac{- 10 - 6 i \sqrt{19}}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.9

Annulez le facteur commun à $- 10 - 6 i \sqrt{19}$ et $4$ .

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Étape 4.2.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$y = - \frac{2 (- 5) - 6 i \sqrt{19}}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.9.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 i \sqrt{19}$ .

$y = - \frac{2 (- 5) + 2 (- 3 i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.9.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 5) + 2 (- 3 i \sqrt{19})$ .

$y = - \frac{2 (- 5 - 3 i \sqrt{19})}{4} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.9.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1.9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = - \frac{2 (- 5 - 3 i \sqrt{19})}{2 \cdot 2} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.9.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{2 (- 5 - 3 i \sqrt{19})}{2 \cdot 2} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.9.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{- 5 - 3 i \sqrt{19}}{2} - 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}) - 2$

Étape 4.2.1.10

Multipliez $- 5 (- \frac{3 - i \sqrt{19}}{2})$ .

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Étape 4.2.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$y = - \frac{- 5 - 3 i \sqrt{19}}{2} + 5 \frac{3 - i \sqrt{19}}{2} - 2$

Étape 4.2.1.10.2

Associez $5$ et $\frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$ .

$y = - \frac{- 5 - 3 i \sqrt{19}}{2} + \frac{5 (3 - i \sqrt{19})}{2} - 2$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - 2 + \frac{- (- 5 - 3 i \sqrt{19}) + 5 (3 - i \sqrt{19})}{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 2 + \frac{- - 5 - (- 3 i \sqrt{19}) + 5 (3 - i \sqrt{19})}{2}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$y = - 2 + \frac{5 - (- 3 i \sqrt{19}) + 5 (3 - i \sqrt{19})}{2}$

Étape 4.2.3.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = - 2 + \frac{5 + 3 (i \sqrt{19}) + 5 (3 - i \sqrt{19})}{2}$

Étape 4.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 2 + \frac{5 + 3 i \sqrt{19} + 5 \cdot 3 + 5 (- i \sqrt{19})}{2}$

Étape 4.2.3.5

Multipliez $5$ par $3$ .

$y = - 2 + \frac{5 + 3 i \sqrt{19} + 15 + 5 (- i \sqrt{19})}{2}$

Étape 4.2.3.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = - 2 + \frac{5 + 3 i \sqrt{19} + 15 - 5 i \sqrt{19}}{2}$

Étape 4.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.4.1

Additionnez $5$ et $15$ .

$y = - 2 + \frac{3 i \sqrt{19} + 20 - 5 i \sqrt{19}}{2}$

Étape 4.2.4.2

Soustrayez $5 i \sqrt{19}$ de $3 i \sqrt{19}$ .

$y = - 2 + \frac{- 2 i \sqrt{19} + 20}{2}$

Étape 4.2.4.3

Remettez dans l’ordre $- 2 i \sqrt{19}$ et $20$ .

$y = - 2 + \frac{20 - 2 i \sqrt{19}}{2}$

Étape 4.2.4.4

Annulez le facteur commun à $20 - 2 i \sqrt{19}$ et $2$ .

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Étape 4.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$y = - 2 + \frac{2 \cdot 10 - 2 i \sqrt{19}}{2}$

Étape 4.2.4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i \sqrt{19}$ .

$y = - 2 + \frac{2 \cdot 10 + 2 (- i \sqrt{19})}{2}$

Étape 4.2.4.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (10) + 2 (- i \sqrt{19})$ .

$y = - 2 + \frac{2 (10 - i \sqrt{19})}{2}$

Étape 4.2.4.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.4.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = - 2 + \frac{2 (10 - i \sqrt{19})}{2 (1)}$

Étape 4.2.4.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = - 2 + \frac{2 (10 - i \sqrt{19})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = - 2 + \frac{10 - i \sqrt{19}}{1}$

Étape 4.2.4.4.4.4

Divisez $10 - i \sqrt{19}$ par $1$ .

$y = - 2 + 10 - i \sqrt{19}$

Étape 4.2.4.5

Additionnez $- 2$ et $10$ .

$y = 8 - i \sqrt{19}$

Étape 5

Indiquez toutes les solutions.

$y = 8 + i \sqrt{19}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

$y = 8 - i \sqrt{19}, x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$

Étape 6