Algèbre Exemples

$\sqrt{3 x^{2}} - x \sqrt{12} + 2 x \sqrt{75} = \sqrt{3}$

Étape 1

Résolvez $\sqrt{3 x^{2}}$ .

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Étape 1.1

Simplifiez $\sqrt{3 x^{2}} - x \sqrt{12} + 2 x \sqrt{75}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\sqrt{3 x^{2}} - x \sqrt{4 (3)} + 2 x \sqrt{75} = \sqrt{3}$

Étape 1.1.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{3 x^{2}} - x \sqrt{2^{2} \cdot 3} + 2 x \sqrt{75} = \sqrt{3}$

Étape 1.1.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{3 x^{2}} - x (2 \sqrt{3}) + 2 x \sqrt{75} = \sqrt{3}$

Étape 1.1.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\sqrt{3 x^{2}} - 2 x \sqrt{3} + 2 x \sqrt{75} = \sqrt{3}$

Étape 1.1.1.4

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$\sqrt{3 x^{2}} - 2 x \sqrt{3} + 2 x \sqrt{25 (3)} = \sqrt{3}$

Étape 1.1.1.4.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\sqrt{3 x^{2}} - 2 x \sqrt{3} + 2 x \sqrt{5^{2} \cdot 3} = \sqrt{3}$

Étape 1.1.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{3 x^{2}} - 2 x \sqrt{3} + 2 x (5 \sqrt{3}) = \sqrt{3}$

Étape 1.1.1.6

Multipliez $5$ par $2$ .

$\sqrt{3 x^{2}} - 2 x \sqrt{3} + 10 x \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Étape 1.1.2

Additionnez $- 2 x \sqrt{3}$ et $10 x \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3 x^{2}} + 8 x \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Étape 1.2

Soustrayez $8 x \sqrt{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 x^{2}} = \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 x^{2}}}^{2} = {(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x^{2}}$ comme ${(3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 x^{2})}^{1} = {(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$3 x^{2} = {(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$ comme $(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})$ .

$3 x^{2} = (\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} = \sqrt{3} (\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} (\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} = \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} (\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} = \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$3 x^{2} = \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 x^{2} = \sqrt{9} + \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$3 x^{2} = \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$3 x^{2} = 3 + \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.5

Multipliez $\sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 8 x ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 8 x ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{2} = 3 - 8 x {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 8 x {\sqrt{3}}^{2} - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.3.1.3.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{2} = 3 - 8 x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{2} = 3 - 8 x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 x^{2} = 3 - 8 x \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} = 3 - 8 x \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} = 3 - 8 x \cdot 3^{1} - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$3 x^{2} = 3 - 8 x \cdot 3 - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.7

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.8

Multipliez $- 8 x \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.8.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.8.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x {\sqrt{3}}^{2} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.9

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.3.1.3.1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x \cdot 3^{1} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.9.5

Évaluez l’exposant.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x \cdot 3 - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.10

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.11

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.11.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x - 8 (x \cdot x) \sqrt{3} (- 8 \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.11.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x - 8 x^{2} \sqrt{3} (- 8 \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.12

Multipliez $- 8 x^{2} \sqrt{3} (- 8 \sqrt{3})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.12.1

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 3.3.1.3.1.12.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Étape 3.3.1.3.1.12.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Étape 3.3.1.3.1.12.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.12.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.13

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.3.1.3.1.13.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.13.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.13.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.13.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.13.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.13.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} \cdot 3^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.13.5

Évaluez l’exposant.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} \cdot 3$

Étape 3.3.1.3.1.14

Multipliez $3$ par $64$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 192 x^{2}$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $24 x$ de $- 24 x$ .

$3 x^{2} = 3 - 48 x + 192 x^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$3 - 48 x + 192 x^{2} = 3 x^{2}$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 - 48 x + 192 x^{2} - 3 x^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $3 x^{2}$ de $192 x^{2}$ .

$3 - 48 x + 189 x^{2} = 0$

Étape 4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 - 48 x + 189 x^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 (1) - 48 x + 189 x^{2} = 0$

Étape 4.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 48 x$ .

$3 (1) + 3 (- 16 x) + 189 x^{2} = 0$

Étape 4.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $189 x^{2}$ .

$3 (1) + 3 (- 16 x) + 3 (63 x^{2}) = 0$

Étape 4.3.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (1) + 3 (- 16 x)$ .

$3 (1 - 16 x) + 3 (63 x^{2}) = 0$

Étape 4.3.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (1 - 16 x) + 3 (63 x^{2})$ .

$3 (1 - 16 x + 63 x^{2}) = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.3.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 (63 x^{2} - 16 x + 1) = 0$

Étape 4.3.2.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 63 \cdot 1 = 63$ et dont la somme est $b = - 16$ .

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Étape 4.3.2.1.2.1

Factorisez $- 16$ à partir de $- 16 x$ .

$3 (63 x^{2} - 16 x + 1) = 0$

Étape 4.3.2.1.2.2

Réécrivez $- 16$ comme $- 7$ plus $- 9$

$3 (63 x^{2} + (- 7 - 9) x + 1) = 0$

Étape 4.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (63 x^{2} - 7 x - 9 x + 1) = 0$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.3.2.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$3 ((63 x^{2} - 7 x) - 9 x + 1) = 0$

Étape 4.3.2.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 (7 x (9 x - 1) - (9 x - 1)) = 0$

Étape 4.3.2.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 x - 1$ .

$3 ((9 x - 1) (7 x - 1)) = 0$

Étape 4.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (9 x - 1) (7 x - 1) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$9 x - 1 = 0$

$7 x - 1 = 0$

Étape 4.5

Définissez $9 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $9 x - 1$ égal à $0$ .

$9 x - 1 = 0$

Étape 4.5.2

Résolvez $9 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x = 1$

Étape 4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $9 x = 1$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = 1$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 4.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Étape 4.6

Définissez $7 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $7 x - 1$ égal à $0$ .

$7 x - 1 = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez $7 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$7 x = 1$

Étape 4.6.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = 1$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 4.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = 1$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Étape 4.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Étape 4.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{7}$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (9 x - 1) (7 x - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{9}, \frac{1}{7}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{3 x^{2}} - x \sqrt{12} + 2 x \sqrt{75} = \sqrt{3}$ vrai.

$x = \frac{1}{9}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{9}$

Forme décimale :

$x = 0.\overline{1}$