Algèbre Exemples

$\sqrt{9 y + 19} - \sqrt{6 y - 5} > 3$

Étape 1

Ajoutez $\sqrt{6 y - 5}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\sqrt{9 y + 19} > 3 + \sqrt{6 y - 5}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{9 y + 19}}^{2} > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 y + 19}$ comme ${(9 y + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 y + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(9 y + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(9 y + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 y + 19)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(9 y + 19)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(9 y + 19)}^{1} > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$9 y + 19 > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{6 y - 5}) (3 + \sqrt{6 y - 5})$ .

$9 y + 19 > (3 + \sqrt{6 y - 5}) (3 + \sqrt{6 y - 5})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(3 + \sqrt{6 y - 5}) (3 + \sqrt{6 y - 5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 y + 19 > 3 (3 + \sqrt{6 y - 5}) + \sqrt{6 y - 5} (3 + \sqrt{6 y - 5})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 y + 19 > 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{6 y - 5} + \sqrt{6 y - 5} (3 + \sqrt{6 y - 5})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 y + 19 > 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{6 y - 5} + \sqrt{6 y - 5} \cdot 3 + \sqrt{6 y - 5} \sqrt{6 y - 5}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + \sqrt{6 y - 5} \cdot 3 + \sqrt{6 y - 5} \sqrt{6 y - 5}$

Étape 3.3.1.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{6 y - 5}$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \cdot \sqrt{6 y - 5} + \sqrt{6 y - 5} \sqrt{6 y - 5}$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{6 y - 5} \sqrt{6 y - 5}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.3.1

Élevez $\sqrt{6 y - 5}$ à la puissance $1$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {\sqrt{6 y - 5}}^{1} \sqrt{6 y - 5}$

Étape 3.3.1.3.1.3.2

Élevez $\sqrt{6 y - 5}$ à la puissance $1$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {\sqrt{6 y - 5}}^{1} {\sqrt{6 y - 5}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {\sqrt{6 y - 5}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {\sqrt{6 y - 5}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{6 y - 5}}^{2}$ comme $6 y - 5$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 y - 5}$ comme ${(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {(6 y - 5)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {(6 y - 5)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {(6 y - 5)}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.5

Simplifiez

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + 6 y - 5$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $5$ de $9$ .

$9 y + 19 > 4 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + 6 y$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $3 \sqrt{6 y - 5}$ et $3 \sqrt{6 y - 5}$ .

$9 y + 19 > 4 + 6 \sqrt{6 y - 5} + 6 y$

Étape 4

Résolvez $6 \sqrt{6 y - 5}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez de sorte que $6 \sqrt{6 y - 5}$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$4 + 6 \sqrt{6 y - 5} + 6 y < 9 y + 19$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $6 \sqrt{6 y - 5}$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’inégalité.

$6 \sqrt{6 y - 5} + 6 y < 9 y + 19 - 4$

Étape 4.2.2

Soustrayez $6 y$ des deux côtés de l’inégalité.

$6 \sqrt{6 y - 5} < 9 y + 19 - 4 - 6 y$

Étape 4.2.3

Soustrayez $6 y$ de $9 y$ .

$6 \sqrt{6 y - 5} < 3 y + 19 - 4$

Étape 4.2.4

Soustrayez $4$ de $19$ .

$6 \sqrt{6 y - 5} < 3 y + 15$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(6 \sqrt{6 y - 5})}^{2} < {(3 y + 15)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 y - 5}$ comme ${(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(3 y + 15)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(6 {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $6 {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(3 y + 15)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$36 {({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(3 y + 15)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(3 y + 15)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$36 {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(3 y + 15)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$36 {(6 y - 5)}^{1} < {(3 y + 15)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$36 (6 y - 5) < {(3 y + 15)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$36 (6 y) + 36 \cdot - 5 < {(3 y + 15)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez.

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Étape 6.2.1.6.1

Multipliez $6$ par $36$ .

$216 y + 36 \cdot - 5 < {(3 y + 15)}^{2}$

Étape 6.2.1.6.2

Multipliez $36$ par $- 5$ .

$216 y - 180 < {(3 y + 15)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(3 y + 15)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(3 y + 15)}^{2}$ comme $(3 y + 15) (3 y + 15)$ .

$216 y - 180 < (3 y + 15) (3 y + 15)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(3 y + 15) (3 y + 15)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$216 y - 180 < 3 y (3 y + 15) + 15 (3 y + 15)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$216 y - 180 < 3 y (3 y) + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y + 15)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$216 y - 180 < 3 y (3 y) + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$216 y - 180 < 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$216 y - 180 < 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$216 y - 180 < 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$216 y - 180 < 9 y^{2} + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $15$ par $3$ .

$216 y - 180 < 9 y^{2} + 45 y + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $15$ .

$216 y - 180 < 9 y^{2} + 45 y + 45 y + 15 \cdot 15$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $15$ par $15$ .

$216 y - 180 < 9 y^{2} + 45 y + 45 y + 225$

Étape 6.3.1.3.2

Additionnez $45 y$ et $45 y$ .

$216 y - 180 < 9 y^{2} + 90 y + 225$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Réécrivez de sorte que $y$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$9 y^{2} + 90 y + 225 > 216 y - 180$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $216 y$ des deux côtés de l’inégalité.

$9 y^{2} + 90 y + 225 - 216 y > - 180$

Étape 7.2.2

Soustrayez $216 y$ de $90 y$ .

$9 y^{2} - 126 y + 225 > - 180$

Étape 7.3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$9 y^{2} - 126 y + 225 = - 180$

Étape 7.4

Ajoutez $180$ aux deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} - 126 y + 225 + 180 = 0$

Étape 7.5

Additionnez $225$ et $180$ .

$9 y^{2} - 126 y + 405 = 0$

Étape 7.6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.6.1

Factorisez $9$ à partir de $9 y^{2} - 126 y + 405$ .

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Étape 7.6.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 y^{2}$ .

$9 (y^{2}) - 126 y + 405 = 0$

Étape 7.6.1.2

Factorisez $9$ à partir de $- 126 y$ .

$9 (y^{2}) + 9 (- 14 y) + 405 = 0$

Étape 7.6.1.3

Factorisez $9$ à partir de $405$ .

$9 y^{2} + 9 (- 14 y) + 9 \cdot 45 = 0$

Étape 7.6.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 y^{2} + 9 (- 14 y)$ .

$9 (y^{2} - 14 y) + 9 \cdot 45 = 0$

Étape 7.6.1.5

Factorisez $9$ à partir de $9 (y^{2} - 14 y) + 9 \cdot 45$ .

$9 (y^{2} - 14 y + 45) = 0$

Étape 7.6.2

Factorisez.

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Étape 7.6.2.1

Factorisez $y^{2} - 14 y + 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.6.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $45$ et dont la somme est $- 14$ .

$- 9, - 5$

Étape 7.6.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$9 ((y - 9) (y - 5)) = 0$

Étape 7.6.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$9 (y - 9) (y - 5) = 0$

Étape 7.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 9 = 0$

$y - 5 = 0$

Étape 7.8

Définissez $y - 9$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 7.8.1

Définissez $y - 9$ égal à $0$ .

$y - 9 = 0$

Étape 7.8.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 9$

Étape 7.9

Définissez $y - 5$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 7.9.1

Définissez $y - 5$ égal à $0$ .

$y - 5 = 0$

Étape 7.9.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 5$

Étape 7.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $9 (y - 9) (y - 5) = 0$ vraie.

$y = 9, 5$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\sqrt{9 y + 19} - \sqrt{6 y - 5} - 3$ .

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Étape 8.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{9 y + 19}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$9 y + 19 \geq 0$

Étape 8.2

Résolvez $y$ .

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Étape 8.2.1

Soustrayez $19$ des deux côtés de l’inégalité.

$9 y \geq - 19$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $9 y \geq - 19$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 y \geq - 19$ par $9$ .

$\frac{9 y}{9} \geq \frac{- 19}{9}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 y}{9} \geq \frac{- 19}{9}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y \geq \frac{- 19}{9}$

Étape 8.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y \geq - \frac{19}{9}$

Étape 8.3

Définissez le radicande dans $\sqrt{6 y - 5}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$6 y - 5 \geq 0$

Étape 8.4

Résolvez $y$ .

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Étape 8.4.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’inégalité.

$6 y \geq 5$

Étape 8.4.2

Divisez chaque terme dans $6 y \geq 5$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 8.4.2.1

Divisez chaque terme dans $6 y \geq 5$ par $6$ .

$\frac{6 y}{6} \geq \frac{5}{6}$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 8.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y}{6} \geq \frac{5}{6}$

Étape 8.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y \geq \frac{5}{6}$

Étape 8.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

$[\frac{5}{6}, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$y < \frac{5}{6}$

$\frac{5}{6} < y < 5$

$5 < y < 9$

$y > 9$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $y < \frac{5}{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y < \frac{5}{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 0$

Étape 10.1.2

Remplacez $y$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{9 (0) + 19} - \sqrt{6 (0) - 5} > 3$

Étape 10.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{6} < y < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{6} < y < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 3$

Étape 10.2.2

Remplacez $y$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{9 (3) + 19} - \sqrt{6 (3) - 5} > 3$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $3.1767787$ est supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $5 < y < 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $5 < y < 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 7$

Étape 10.3.2

Remplacez $y$ par $7$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{9 (7) + 19} - \sqrt{6 (7) - 5} > 3$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $2.9726226$ n’est pas supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $y > 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y > 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 12$

Étape 10.4.2

Remplacez $y$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{9 (12) + 19} - \sqrt{6 (12) - 5} > 3$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $3.08407489$ est supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$y < \frac{5}{6}$ Faux

$\frac{5}{6} < y < 5$ Vrai

$5 < y < 9$ Faux

$y > 9$ Vrai

$y < \frac{5}{6}$ Faux

$\frac{5}{6} < y < 5$ Vrai

$5 < y < 9$ Faux

$y > 9$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{5}{6} < y < 5$ ou $y > 9$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$\frac{5}{6} < y < 5 or y > 9$

Notation d’intervalle :

$(\frac{5}{6}, 5) \cup (9, \infty)$

Étape 13