Algèbre Exemples

$\log_{5} (3 x + 2) < \log_{5} (2 x + 5)$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log_{5} (3 x + 2) = \log_{5} (2 x + 5)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$3 x + 2 = 2 x + 5$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x + 2 - 2 x = 5$

Étape 2.2.1.2

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$x + 2 = 5$

Étape 2.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = 5 - 2$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$x = 3$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log_{5} (\frac{3 x + 2}{2 x + 5})$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log_{5} (\frac{3 x + 2}{2 x + 5})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{3 x + 2}{2 x + 5} > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$3 x + 2 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 3.2.3

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 3.2.4

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 5$

Étape 3.2.5

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 3.2.6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - \frac{2}{3}$

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 3.2.7

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{2}{3}, - \frac{5}{2}$

Étape 3.2.8

Déterminez le domaine de $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ .

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Étape 3.2.8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x + 5 = 0$

Étape 3.2.8.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.8.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 5$

Étape 3.2.8.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.2.8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.2.8.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.2.8.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 3.2.8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \infty)$

Étape 3.2.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$

$x > - \frac{2}{3}$

Étape 3.2.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 3.2.10.1.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (- 5) + 2}{2 (- 5) + 5} > 0$

Étape 3.2.10.1.3

Le côté gauche $2.6$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.2.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 3.2.10.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (- 2) + 2}{2 (- 2) + 5} > 0$

Étape 3.2.10.2.3

Le côté gauche $- 4$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 3.2.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 3.2.10.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (0) + 2}{2 (0) + 5} > 0$

Étape 3.2.10.3.3

Le côté gauche $0.4$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.2.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{5}{2}$ Vrai

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Faux

$x > - \frac{2}{3}$ Vrai

$x < - \frac{5}{2}$ Vrai

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Faux

$x > - \frac{2}{3}$ Vrai

Étape 3.2.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{5}{2}$ ou $x > - \frac{2}{3}$

Étape 3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x + 5 = 0$

Étape 3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 5$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 3$

$x > 3$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{5} (3 (- 5) + 2) < \log_{5} (2 (- 5) + 5)$

Étape 5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{5} (3 (- 2) + 2) < \log_{5} (2 (- 2) + 5)$

Étape 5.2.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.2.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{3} < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{3} < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{5} (3 (0) + 2) < \log_{5} (2 (0) + 5)$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $0.43067655$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 5.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{5} (3 (6) + 2) < \log_{5} (2 (6) + 5)$

Étape 5.4.3

Le côté gauche $1.86135311$ n’est pas inférieur au côté droit $1.76037442$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{5}{2}$ Faux

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Faux

$- \frac{2}{3} < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - \frac{5}{2}$ Faux

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{2}{3}$ Faux

$- \frac{2}{3} < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{2}{3} < x < 3$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{2}{3} < x < 3$

Notation d’intervalle :

$(- \frac{2}{3}, 3)$

Étape 8