Algèbre Exemples

$\frac{x^{4} + 0 x^{3} - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Multipliez $0$ par $x^{3}$ .

$\frac{x^{4} + 0 - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Étape 1.2

Additionnez $x^{4}$ et $0$ .

$\frac{x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Étape 1.3

Factorisez $x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 1.3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3$

Étape 1.3.3

Remplacez $- 3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.3.1

Remplacez $- 3$ dans le polynôme.

${(- 3)}^{4} - 10 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Étape 1.3.3.2

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$81 - 10 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Étape 1.3.3.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$81 - 10 \cdot 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Étape 1.3.3.4

Multipliez $- 10$ par $9$ .

$81 - 90 - 2 \cdot - 3 + 3$

Étape 1.3.3.5

Soustrayez $90$ de $81$ .

$- 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$- 9 + 6 + 3$

Étape 1.3.3.7

Additionnez $- 9$ et $6$ .

$- 3 + 3$

Étape 1.3.3.8

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$0$

Étape 1.3.4

Comme $- 3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Étape 1.3.5

Divisez $x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3$ par $x + 3$ .

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Étape 1.3.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

Étape 1.3.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

Étape 1.3.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Étape 1.3.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} + 3 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Étape 1.3.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Étape 1.3.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

Étape 1.3.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

Étape 1.3.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$3 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Étape 1.3.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{3} - 9 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Étape 1.3.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

Étape 1.3.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

Étape 1.3.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

Étape 1.3.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

Étape 1.3.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} - 3 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

Étape 1.3.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

Étape 1.3.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

Étape 1.3.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

Étape 1.3.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x$

$3$

Étape 1.3.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x$

$3$

Étape 1.3.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x$

$3$

$0$

Étape 1.3.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$

Étape 1.3.6

Écrivez $x^{4} - 10 x^{2} - 2 x + 3$ comme un ensemble de facteurs.

$\frac{(x + 3) (x^{3} - 3 x^{2} - x + 1)}{x + 3}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (x^{3} - 3 x^{2} - x + 1)}{x + 3}$

Étape 2.2

Divisez $x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$ par $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$