Algèbre Exemples

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 x^{2} + 18 x + 16}{- x - 1} \div \frac{x^{2} + 11 x + 24}{9 - x^{2}}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 x^{2} + 18 x + 16}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 18 x + 16$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (x^{2}) + 18 x + 16}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $18 x$ .

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (x^{2}) + 2 (9 x) + 16}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 x^{2} + 2 (9 x) + 2 \cdot 8}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (9 x)$ .

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (x^{2} + 9 x) + 2 \cdot 8}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} + 9 x) + 2 \cdot 8$ .

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (x^{2} + 9 x + 8)}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + 9 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $9$ .

$1, 8$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 ((x + 1) (x + 8))}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (x + 1) (x + 8)}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $x + 1$ et $- x - 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (- 1 (- x) + 1) (x + 8)}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (- 1 (- x) - 1 (- 1)) (x + 8)}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (- 1 (- x - 1)) (x + 8)}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3 - x} \cdot \frac{2 (- 1 (- x - 1)) (x + 8)}{- x - 1} \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 3.1.5

Divisez $2 \cdot (- 1) (x + 8)$ par $1$ .

$\frac{3}{3 - x} \cdot (2 \cdot (- 1) (x + 8)) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot - 1 \frac{3}{3 - x} (x + 8) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{3}{3 - x} (x + 8) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 4

Multipliez $- 2 \frac{3}{3 - x}$ .

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Étape 4.1

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3 - x}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{3 - x} (x + 8) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 4.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 6}{3 - x} (x + 8) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{3 - x} (x + 8) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$(- \frac{6}{3 - x} x - \frac{6}{3 - x} \cdot 8) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 7

Associez $x$ et $\frac{6}{3 - x}$ .

$(- \frac{x \cdot 6}{3 - x} - \frac{6}{3 - x} \cdot 8) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 8

Multipliez $- \frac{6}{3 - x} \cdot 8$ .

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Étape 8.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$(- \frac{x \cdot 6}{3 - x} - 8 \frac{6}{3 - x}) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 8.2

Associez $- 8$ et $\frac{6}{3 - x}$ .

$(- \frac{x \cdot 6}{3 - x} + \frac{- 8 \cdot 6}{3 - x}) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 8.3

Multipliez $- 8$ par $6$ .

$(- \frac{x \cdot 6}{3 - x} + \frac{- 48}{3 - x}) \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(- \frac{x \cdot 6}{3 - x} + \frac{- 48}{3 - x}) \frac{3^{2} - x^{2}}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 9.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x$ .

$(- \frac{x \cdot 6}{3 - x} + \frac{- 48}{3 - x}) \frac{(3 + x) (3 - x)}{x^{2} + 11 x + 24}$

Étape 10

Factorisez $x^{2} + 11 x + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 10.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $11$ .

$3, 8$

Étape 10.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(- \frac{x \cdot 6}{3 - x} + \frac{- 48}{3 - x}) \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Étape 11

Simplifiez les termes.

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Étape 11.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x \cdot 6 - 48}{3 - x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Étape 11.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 x - 48}{3 - x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Étape 11.3

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x - 48$ .

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Étape 11.3.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{6 (- x) - 48}{3 - x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Étape 11.3.2

Factorisez $6$ à partir de $- 48$ .

$\frac{6 (- x) + 6 (- 8)}{3 - x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Étape 11.3.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (- x) + 6 (- 8)$ .

$\frac{6 (- x - 8)}{3 - x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Étape 11.4

Annulez le facteur commun de $3 - x$ .

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Étape 11.4.1

Factorisez $3 - x$ à partir de $(3 + x) (3 - x)$ .

$\frac{6 (- x - 8)}{3 - x} \cdot \frac{(3 - x) (3 + x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Étape 11.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (- x - 8)}{3 - x} \cdot \frac{(3 - x) (3 + x)}{(x + 3) (x + 8)}$

Étape 11.4.3

Réécrivez l’expression.

$6 (- x - 8) \frac{3 + x}{(x + 3) (x + 8)}$

Étape 11.5

Associez $\frac{3 + x}{(x + 3) (x + 8)}$ et $6$ .

$\frac{(3 + x) \cdot 6}{(x + 3) (x + 8)} (- x - 8)$

Étape 11.6

Annulez le facteur commun à $3 + x$ et $x + 3$ .

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Étape 11.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + 3) \cdot 6}{(x + 3) (x + 8)} (- x - 8)$

Étape 11.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) \cdot 6}{(x + 3) (x + 8)} (- x - 8)$

Étape 11.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{x + 8} (- x - 8)$

Étape 11.7

Multipliez $\frac{6}{x + 8}$ par $- x - 8$ .

$\frac{6 (- x - 8)}{x + 8}$

Étape 11.8

Annulez le facteur commun à $- x - 8$ et $x + 8$ .

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Étape 11.8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{6 (- (x) - 8)}{x + 8}$

Étape 11.8.2

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$\frac{6 (- (x) - 1 (8))}{x + 8}$

Étape 11.8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (8)$ .

$\frac{6 (- (x + 8))}{x + 8}$

Étape 11.8.4

Réécrivez $- (x + 8)$ comme $- 1 (x + 8)$ .

$\frac{6 (- 1 (x + 8))}{x + 8}$

Étape 11.8.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (- 1 (x + 8))}{x + 8}$

Étape 11.8.6

Divisez $6 \cdot (- 1)$ par $1$ .

$6 \cdot (- 1)$

Étape 11.9

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6$