Algèbre Exemples

$\frac{t^{2} - 36}{3} + \frac{t^{2} + 6 t}{9 t}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 6^{2}}{3} + \frac{t^{2} + 6 t}{9 t}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t$ et $b = 6$ .

$\frac{(t + 6) (t - 6)}{3} + \frac{t^{2} + 6 t}{9 t}$

Étape 1.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{2} + 6 t$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$\frac{(t + 6) (t - 6)}{3} + \frac{t \cdot t + 6 t}{9 t}$

Étape 1.2.2

Factorisez $t$ à partir de $6 t$ .

$\frac{(t + 6) (t - 6)}{3} + \frac{t \cdot t + t \cdot 6}{9 t}$

Étape 1.2.3

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot t + t \cdot 6$ .

$\frac{(t + 6) (t - 6)}{3} + \frac{t (t + 6)}{9 t}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(t + 6) (t - 6)}{3} + \frac{t (t + 6)}{9 t}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(t + 6) (t - 6)}{3} + \frac{t + 6}{9}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{(t + 6) (t - 6)}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t + 6) (t - 6)}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{t + 6}{9}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{(t + 6) (t - 6)}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t + 6) (t - 6) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{t + 6}{9}$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{(t + 6) (t - 6) \cdot 3}{9} + \frac{t + 6}{9}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(t + 6) (t - 6) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(t + 6) (t - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(t (t - 6) + 6 (t - 6)) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(t \cdot t + t \cdot - 6 + 6 (t - 6)) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(t \cdot t + t \cdot - 6 + 6 t + 6 \cdot - 6) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Étape 5.2

Associez les termes opposés dans $t \cdot t + t \cdot - 6 + 6 t + 6 \cdot - 6$ .

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Étape 5.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $t \cdot - 6$ et $6 t$ .

$\frac{(t \cdot t - 6 t + 6 t + 6 \cdot - 6) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 6 t$ et $6 t$ .

$\frac{(t \cdot t + 0 + 6 \cdot - 6) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Étape 5.2.3

Additionnez $t \cdot t$ et $0$ .

$\frac{(t \cdot t + 6 \cdot - 6) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{(t^{2} + 6 \cdot - 6) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Étape 5.3.2

Multipliez $6$ par $- 6$ .

$\frac{(t^{2} - 36) \cdot 3 + t + 6}{9}$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} \cdot 3 - 36 \cdot 3 + t + 6}{9}$

Étape 5.5

Déplacez $3$ à gauche de $t^{2}$ .

$\frac{3 \cdot t^{2} - 36 \cdot 3 + t + 6}{9}$

Étape 5.6

Multipliez $- 36$ par $3$ .

$\frac{3 \cdot t^{2} - 108 + t + 6}{9}$

Étape 5.7

Additionnez $- 108$ et $6$ .

$\frac{3 t^{2} + t - 102}{9}$

Étape 5.8

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 102 = - 306$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 5.8.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 t - 102}{9}$

Étape 5.8.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 17$ plus $18$

$\frac{3 t^{2} + (- 17 + 18) t - 102}{9}$

Étape 5.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 t^{2} - 17 t + 18 t - 102}{9}$

Étape 5.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 t^{2} - 17 t) + 18 t - 102}{9}$

Étape 5.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{t (3 t - 17) + 6 (3 t - 17)}{9}$

Étape 5.8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 t - 17$ .

$\frac{(3 t - 17) (t + 6)}{9}$