Algèbre Exemples

$x^{4} + x^{2} - 90 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} + x^{2} - 90 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$u^{2} + u - 90 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} + u - 90$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 90$ et dont la somme est $1$ .

$- 9, 10$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 9) (u + 10) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x^{2} - 9) (x^{2} + 10) = 0$

Étape 1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 10) = 0$

Étape 1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 10) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 10 = 0$

Étape 3

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5

Définissez $x^{2} + 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x^{2} + 10$ égal à $0$ .

$x^{2} + 10 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x^{2} + 10 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 10$

Étape 5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 10}$

Étape 5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 10}$ .

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez $- 10$ comme $- 1 (10)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (10)}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (10)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{10}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{10}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{10}$

Étape 5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{10}$

Étape 5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{10}$

Étape 5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{10}, - i \sqrt{10}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 10) = 0$ vraie.

$x = - 3, 3, i \sqrt{10}, - i \sqrt{10}$