Algèbre Exemples

$y = \frac{1}{2} \sin (x - π) + 1$

Étape 1

Utilisez la forme $a \sin (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 1$

$c = π$

$d = 1$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Étape 3

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Étape 3.1

Déterminez la période de $\frac{\sin (x - π)}{2}$ .

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Étape 3.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.1.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.1.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2

Déterminez la période de $1$ .

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Étape 3.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$2 π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{π}{1}$

Étape 4.3

Divisez $π$ par $1$ .

Déphasage : $π$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Période : $2 π$

Déphasage : $π$ ( $π$ à droite)

Décalage vertical : $1$

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = π$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = \frac{\sin ((π) - π)}{2} + 1$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (π) = \frac{\sin (0)}{2} + 1$

Étape 6.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.2.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (π) = \frac{0}{2} + 1$

Étape 6.1.2.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (π) = 0 + 1$

Étape 6.1.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (π) = 1$

Étape 6.1.2.4

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin ((\frac{3 π}{2}) - π)}{2} + 1$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})}{2} + 1$

Étape 6.2.2.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.2.1

Associez $- π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Étape 6.2.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{3 π - π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{3 π - 2 π}{2})}{2} + 1$

Étape 6.2.2.3.1.2

Soustrayez $2 π$ de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{π}{2})}{2} + 1$

Étape 6.2.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{1}{2} + 1$

Étape 6.2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.4.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 6.2.2.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{1 + 2}{2}$

Étape 6.2.2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3}{2}$

Étape 6.2.2.5

La réponse finale est $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = 2 π$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2 π$ dans l’expression.

$f (2 π) = \frac{\sin ((2 π) - π)}{2} + 1$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$f (2 π) = \frac{\sin (π)}{2} + 1$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (2 π) = \frac{\sin (0)}{2} + 1$

Étape 6.3.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (2 π) = \frac{0}{2} + 1$

Étape 6.3.2.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (2 π) = 0 + 1$

Étape 6.3.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (2 π) = 1$

Étape 6.3.2.4

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{5 π}{2}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{\sin ((\frac{5 π}{2}) - π)}{2} + 1$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})}{2} + 1$

Étape 6.4.2.2

Associez les fractions.

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Étape 6.4.2.2.1

Associez $- π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Étape 6.4.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{2})}{2} + 1$

Étape 6.4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{5 π - 2 π}{2})}{2} + 1$

Étape 6.4.2.3.1.2

Soustrayez $2 π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{2} + 1$

Étape 6.4.2.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.3.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{2} + 1$

Étape 6.4.2.3.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{- 1 \cdot 1}{2} + 1$

Étape 6.4.2.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{- 1}{2} + 1$

Étape 6.4.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{5 π}{2}) = - \frac{1}{2} + 1$

Étape 6.4.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.2.4.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 6.4.2.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{- 1 + 2}{2}$

Étape 6.4.2.4.3

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.5

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = 3 π$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $3 π$ dans l’expression.

$f (3 π) = \frac{\sin ((3 π) - π)}{2} + 1$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$f (3 π) = \frac{\sin (2 π)}{2} + 1$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.2.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (3 π) = \frac{\sin (0)}{2} + 1$

Étape 6.5.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (3 π) = \frac{0}{2} + 1$

Étape 6.5.2.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (3 π) = 0 + 1$

Étape 6.5.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (3 π) = 1$

Étape 6.5.2.4

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & 1 \\ \frac{3 π}{2} & \frac{3}{2} \\ 2 π & 1 \\ \frac{5 π}{2} & \frac{1}{2} \\ 3 π & 1 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Période : $2 π$

Déphasage : $π$ ( $π$ à droite)

Décalage vertical : $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ π & 1 \\ \frac{3 π}{2} & \frac{3}{2} \\ 2 π & 1 \\ \frac{5 π}{2} & \frac{1}{2} \\ 3 π & 1 \end{array}$

Étape 8