Algèbre Exemples

$\frac{x}{2 x - 5} - \frac{4 x + 15}{4 x^{2} - 25}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{x}{2 x - 5} - \frac{4 x + 15}{{(2 x)}^{2} - 25}$

Étape 1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{x}{2 x - 5} - \frac{4 x + 15}{{(2 x)}^{2} - 5^{2}}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 5$ .

$\frac{x}{2 x - 5} - \frac{4 x + 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x}{2 x - 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{x}{2 x - 5} \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} - \frac{4 x + 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 x - 5) (2 x + 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x}{2 x - 5}$ par $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{x (2 x + 5)}{(2 x - 5) (2 x + 5)} - \frac{4 x + 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(2 x - 5) (2 x + 5)$ .

$\frac{x (2 x + 5)}{(2 x + 5) (2 x - 5)} - \frac{4 x + 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (2 x + 5) - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 5.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x \cdot x + 5 \cdot x - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 5.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 5 \cdot x - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 5.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

$\frac{2 x^{2} + 5 x - (4 x + 15)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 5 x - (4 x) - 1 \cdot 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 5.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 4 x - 1 \cdot 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 5.7

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 4 x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 5.8

Soustrayez $4 x$ de $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} + x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 5.9

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.9.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 5.9.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 5.9.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 5$ plus $6$

$\frac{2 x^{2} + (- 5 + 6) x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 5.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 5.9.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.9.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{2} - 5 x) + 6 x - 15}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 5.9.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 5.9.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 5$ .

$\frac{(2 x - 5) (x + 3)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $2 x - 5$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x - 5) (x + 3)}{(2 x + 5) (2 x - 5)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{2 x + 5}$