Algèbre Exemples

$2 x^{2} + 4 x - 87 < - 8 x - 7$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 1.1

Ajoutez $8 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$2 x^{2} + 4 x - 87 + 8 x < - 7$

Étape 1.2

Additionnez $4 x$ et $8 x$ .

$2 x^{2} + 12 x - 87 < - 7$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} + 12 x - 87 = - 7$

Étape 3

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 12 x - 87 + 7 = 0$

Étape 4

Additionnez $- 87$ et $7$ .

$2 x^{2} + 12 x - 80 = 0$

Étape 5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 12 x - 80$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 12 x - 80 = 0$

Étape 5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $12 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (6 x) - 80 = 0$

Étape 5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 80$ .

$2 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 40 = 0$

Étape 5.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (6 x)$ .

$2 (x^{2} + 6 x) + 2 \cdot - 40 = 0$

Étape 5.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} + 6 x) + 2 \cdot - 40$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 40) = 0$

Étape 5.2

Factorisez.

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{2} + 6 x - 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 40$ et dont la somme est $6$ .

$- 4, 10$

Étape 5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((x - 4) (x + 10)) = 0$

Étape 5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x - 4) (x + 10) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 10 = 0$

Étape 7

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 8

Définissez $x + 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 10$ égal à $0$ .

$x + 10 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 10$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x - 4) (x + 10) = 0$ vraie.

$x = 4, - 10$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 10$

$- 10 < x < 4$

$x > 4$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 12$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 12$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 12)}^{2} + 4 (- 12) - 87 < - 8 \cdot - 12 - 7$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $153$ n’est pas inférieur au côté droit $89$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 10 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 10 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(0)}^{2} + 4 (0) - 87 < - 8 \cdot 0 - 7$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 87$ est inférieur au côté droit $- 7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(6)}^{2} + 4 (6) - 87 < - 8 \cdot 6 - 7$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $9$ n’est pas inférieur au côté droit $- 55$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 10$ Faux

$- 10 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 10$ Faux

$- 10 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 10 < x < 4$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 10 < x < 4$

Notation d’intervalle :

$(- 10, 4)$

Étape 14