Algèbre Exemples

$e^{\sin (x)} \cos (x) = 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{\sin (x)} = 0$

$\cos (x) = 0$

Étape 2

Définissez $e^{\sin (x)}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $e^{\sin (x)}$ égal à $0$ .

$e^{\sin (x)} = 0$

Étape 2.2

Résolvez $e^{\sin (x)} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{\sin (x)}) = \ln (0)$

Étape 2.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{\sin (x)} = 0$

Aucune solution

Étape 3

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{\sin (x)} \cos (x) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$