Algèbre Exemples

$3 x^{2} - 1 \geq - 2 x$

Étape 1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$3 x^{2} - 1 + 2 x \geq 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$3 x^{2} - 1 + 2 x = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Étape 3.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

Étape 3.2.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

Étape 3.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

Étape 3.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 5

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(- 4)}^{2} - 1 \geq - 2 \cdot - 4$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $47$ est supérieur au côté droit $8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(0)}^{2} - 1 \geq - 2 \cdot 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(3)}^{2} - 1 \geq - 2 \cdot 3$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $26$ est supérieur au côté droit $- 6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ Faux

$x > \frac{1}{3}$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ Faux

$x > \frac{1}{3}$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 1$ ou $x \geq \frac{1}{3}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - 1 or x \geq \frac{1}{3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1] \cup [\frac{1}{3}, \infty)$

Étape 12