Algèbre Exemples

$x | x | \leq 3$

Étape 1

Écrivez $x | x | \leq 3$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 1.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \cdot x \leq 3$

Étape 1.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 1.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$x (- x) \leq 3$

Étape 1.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \cdot x \leq 3 & x \geq 0 \\ x (- x) \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.6

Multipliez $x$ par $x$ .

${\begin{cases} x^{2} \leq 3 & x \geq 0 \\ x (- x) \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.7

Simplifiez $x (- x) \leq 3$ .

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Étape 1.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${\begin{cases} x^{2} \leq 3 & x \geq 0 \\ - x \cdot x \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.2.1

Déplacez $x$ .

${\begin{cases} x^{2} \leq 3 & x \geq 0 \\ - (x \cdot x) \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

${\begin{cases} x^{2} \leq 3 & x \geq 0 \\ - x^{2} \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $x^{2} \leq 3$ quand $x \geq 0$ .

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Étape 2.1

Résolvez $x^{2} \leq 3$ pour $x$ .

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Étape 2.1.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{3}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{3}$

Étape 2.1.3

Écrivez $| x | \leq \sqrt{3}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.1.3.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.1.3.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq \sqrt{3}$

Étape 2.1.3.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.1.3.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{3}$

Étape 2.1.3.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.1.4

Déterminez l’intersection de $x \leq \sqrt{3}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{3}$

Étape 2.1.5

Résolvez $- x \leq \sqrt{3}$ quand $x < 0$ .

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Étape 2.1.5.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{3}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1.5.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{3}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Étape 2.1.5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.5.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Étape 2.1.5.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Étape 2.1.5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.5.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{3}$

Étape 2.1.5.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$x \geq - \sqrt{3}$

Étape 2.1.5.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - \sqrt{3}$ et $x < 0$ .

$- \sqrt{3} \leq x < 0$

Étape 2.1.6

Déterminez l’union des solutions.

$- \sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $- \sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{3}$

Étape 3

Résolvez $- x^{2} \leq 3$ quand $x < 0$ .

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Étape 3.1

Résolvez $- x^{2} \leq 3$ pour $x$ .

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \leq 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \leq 3$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \geq \frac{3}{- 1}$

Étape 3.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \geq \frac{3}{- 1}$

Étape 3.1.1.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \geq \frac{3}{- 1}$

Étape 3.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1.3.1

Divisez $3$ par $- 1$ .

$x^{2} \geq - 3$

Étape 3.1.2

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 3.2

Déterminez l’intersection.

$x < 0$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq \sqrt{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq \sqrt{3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \sqrt{3}]$

Étape 6