Algèbre Exemples

$\frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y} + \frac{1}{x}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $x^{2} y^{2}$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y} + \frac{1}{x}}$ par $\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y} + \frac{1}{x}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{x^{2} y^{2} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}})}{x^{2} y^{2} (\frac{1}{y} + \frac{1}{x})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} y^{2} \frac{1}{x^{2}} + x^{2} y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{x^{2} (y^{2}) \frac{1}{x^{2}} + x^{2} y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y^{2} \frac{1}{x^{2}} + x^{2} y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} + x^{2} y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{y^{2} + x^{2} y^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y^{2} + y^{2} x^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} + y^{2} x^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}{x^{2} y^{2} \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}{y (x^{2} y) \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}{y (x^{2} y) \frac{1}{y} + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}{x^{2} y + x^{2} y^{2} \frac{1}{x}}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}{x^{2} y + x (x y^{2}) \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}{x^{2} y + x (x y^{2}) \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}{x^{2} y + x y^{2}}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1 \cdot x^{2}}{x^{2} y + x y^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2} y + x y^{2}}$

Étape 4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = x$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y + x y^{2}}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Factorisez $x y$ à partir de $x^{2} y + x y^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{x y (x) + x y^{2}}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x y$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{x y (x) + x y (y)}$

Étape 5.1.3

Factorisez $x y$ à partir de $x y (x) + x y (y)$ .

$\frac{(y + x) (y - x)}{x y (x + y)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $y + x$ et $x + y$ .

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Étape 5.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + y) (y - x)}{x y (x + y)}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + y) (y - x)}{x y (x + y)}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - x}{x y}$