Algèbre Exemples

$(2 x - 5) (3 x + 1) {(x - 5)}^{2} \leq 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$3 x + 1 = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 2

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $2 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 5$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 3

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 4

Définissez ${(x - 5)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez ${(x - 5)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez ${(x - 5)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez le $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 5) (3 x + 1) {(x - 5)}^{2} \leq 0$ vraie.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{1}{3}, 5$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 5$

$x > 5$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$(2 (- 3) - 5) (3 (- 3) + 1) {((- 3) - 5)}^{2} \leq 0$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $5632$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(2 (0) - 5) (3 (0) + 1) {((0) - 5)}^{2} \leq 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $- 125$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{2} < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5}{2} < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$(2 (4) - 5) (3 (4) + 1) {((4) - 5)}^{2} \leq 0$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $39$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 7.4.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$(2 (8) - 5) (3 (8) + 1) {((8) - 5)}^{2} \leq 0$

Étape 7.4.3

Le côté gauche $2475$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{1}{3}$ Faux

$- \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2}$ Vrai

$\frac{5}{2} < x < 5$ Faux

$x > 5$ Faux

$x < - \frac{1}{3}$ Faux

$- \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2}$ Vrai

$\frac{5}{2} < x < 5$ Faux

$x > 5$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{5}{2}$ ou $x = 5$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{5}{2} or x = 5$

Notation d’intervalle :

$[- \frac{1}{3}, \frac{5}{2}] \cup [5, 5]$

Étape 10