Algèbre Exemples

$\frac{6 x y}{x^{2} - y^{2}} - \frac{x + y}{x - y}$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{6 x y}{(x + y) (x - y)} - \frac{x + y}{x - y}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{x + y}{x - y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{6 x y}{(x + y) (x - y)} - \frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + y) (x - y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x + y}{x - y}$ par $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{6 x y}{(x + y) (x - y)} - \frac{(x + y) (x + y)}{(x - y) (x + y)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - y) (x + y)$ .

$\frac{6 x y}{(x + y) (x - y)} - \frac{(x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 x y - (x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x y + (- x - y) (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.2

Développez $(- x - y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x y - x (x + y) - y (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x y - x \cdot x - x y - y (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x y - x \cdot x - x y - y x - y \cdot y}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{6 x y - (x \cdot x) - x y - y x - y \cdot y}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{6 x y - x^{2} - x y - y x - y \cdot y}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{6 x y - x^{2} - x y - y x - (y \cdot y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{6 x y - x^{2} - x y - y x - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $y x$ de $- x y$ .

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Étape 5.3.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{6 x y - x^{2} - x y - 1 x y - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $x y$ de $- x y$ .

$\frac{6 x y - x^{2} - 2 x y - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.4

Soustrayez $2 x y$ de $6 x y$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x y - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 4 x y - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $4 x y$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 4 x y) - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 4 x y)$ .

$\frac{- (x^{2} - 4 x y) - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{- (x^{2} - 4 x y) - (y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 4 x y) - (y^{2})$ .

$\frac{- (x^{2} - 4 x y + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.6.1

Réécrivez $- (x^{2} - 4 x y + y^{2})$ comme $- 1 (x^{2} - 4 x y + y^{2})$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 4 x y + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Étape 6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} - 4 x y + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$