Algèbre Exemples

$9^{x + \frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $9^{x + \frac{1}{2}}$ comme $9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}}$ .

$9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Étape 1.2

Réécrivez $9^{x}$ comme ${(3^{2})}^{x}$ .

${(3^{2})}^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Étape 1.3

Réécrivez ${(3^{2})}^{x}$ comme ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Étape 1.4

Laissez $u = 3^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $3^{x}$ par $u$ .

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Étape 1.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$u^{2} \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Étape 1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Étape 1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

Étape 1.4.4

Évaluez l’exposant.

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

Étape 1.4.5

Déplacez $3$ à gauche de $u^{2}$ .

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Étape 1.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 u$ .

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Étape 1.5.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1$ plus $- 3$

$3 u^{2} + (- 1 - 3) u + 1 = 0$

Étape 1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} - 1 u - 3 u + 1 = 0$

Étape 1.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 u^{2} - 1 u) - 3 u + 1 = 0$

Étape 1.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (3 u - 1) - (3 u - 1) = 0$

Étape 1.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u - 1) = 0$

Étape 1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3^{x}$ .

$(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $3 \cdot 3^{x} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $3 \cdot 3^{x} - 1$ égal à $0$ .

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez $3$ par $3^{x}$ .

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Étape 3.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$3^{1} \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{1 + x} - 1 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3^{1 + x} = 1$

Étape 3.2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{1 + x}) = \ln (1)$

Étape 3.2.4

Développez $\ln (3^{1 + x})$ en déplaçant $1 + x$ hors du logarithme.

$(1 + x) \ln (3) = \ln (1)$

Étape 3.2.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.5.1

Simplifiez $(1 + x) \ln (3)$ .

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Étape 3.2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 \ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Étape 3.2.5.1.2

Multipliez $\ln (3)$ par $1$ .

$\ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Étape 3.2.6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.6.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\ln (3) + x \ln (3) = 0$

Étape 3.2.7

Remettez dans l’ordre $\ln (3)$ et $x \ln (3)$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = 0$

Étape 3.2.8

Soustrayez $\ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (3) = - \ln (3)$

Étape 3.2.9

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = - \ln (3)$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 3.2.9.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = - \ln (3)$ par $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Étape 3.2.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 3.2.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Étape 3.2.9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Étape 3.2.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.9.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 3.2.9.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Étape 3.2.9.3.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$x = - 1$

Étape 4

Définissez $3^{x} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $3^{x} - 1$ égal à $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $3^{x} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3^{x} = 1$

Étape 4.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Étape 4.2.3

Développez $\ln (3^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Étape 4.2.5

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = 0$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 4.2.5.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = 0$ par $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 4.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 4.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 4.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 4.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.5.3.1

Divisez $0$ par $\ln (3)$ .

$x = 0$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, 0$