Algèbre Exemples

$\sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt[3]{64 a^{3}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$ .

$\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{64 a^{3}}}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{64 a^{3}}$ comme ${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(64 a^{3})}^{1} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$64 a^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez ${\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 12^{2}}}^{3}$

Étape 3.3.1.2

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 144}}^{3}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $25$ et $144$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{169}}^{3}$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez $169$ comme $13^{2}$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{13^{2}}}^{3}$

Étape 3.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$64 a^{3} = 13^{3}$

Étape 3.3.1.6

Élevez $13$ à la puissance $3$ .

$64 a^{3} = 2197$

Étape 4

Résolvez $a$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Soustrayez $2197$ des deux côtés de l’équation.

$64 a^{3} - 2197 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Réécrivez $64 a^{3}$ comme ${(4 a)}^{3}$ .

${(4 a)}^{3} - 2197 = 0$

Étape 4.2.2

Réécrivez $2197$ comme $13^{3}$ .

${(4 a)}^{3} - 13^{3} = 0$

Étape 4.2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 4 a$ et $b = 13$ .

$(4 a - 13) ({(4 a)}^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Étape 4.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Appliquez la règle de produit à $4 a$ .

$(4 a - 13) (4^{2} a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Étape 4.2.4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Étape 4.2.4.3

Multipliez $13$ par $4$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 13^{2}) = 0$

Étape 4.2.4.4

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 a - 13 = 0$

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

Étape 4.4

Définissez $4 a - 13$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Définissez $4 a - 13$ égal à $0$ .

$4 a - 13 = 0$

Étape 4.4.2

Résolvez $4 a - 13 = 0$ pour $a$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’équation.

$4 a = 13$

Étape 4.4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 a = 13$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 a = 13$ par $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

Étape 4.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

Étape 4.4.2.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{13}{4}$

Étape 4.5

Définissez $16 a^{2} + 52 a + 169$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Définissez $16 a^{2} + 52 a + 169$ égal à $0$ .

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

Étape 4.5.2

Résolvez $16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$ pour $a$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 16$ , $b = 52$ et $c = 169$ dans la formule quadratique et résolvez pour $a$ .

$\frac{- 52 \pm \sqrt{52^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 169)}}{2 \cdot 16}$

Étape 4.5.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.3.1.1

Élevez $52$ à la puissance $2$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 4 \cdot 16 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

Étape 4.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 169$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 64 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

Étape 4.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $169$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 10816}}{2 \cdot 16}$

Étape 4.5.2.3.1.3

Soustrayez $10816$ de $2704$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 8112}}{2 \cdot 16}$

Étape 4.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 8112$ comme $- 1 (8112)$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8112}}{2 \cdot 16}$

Étape 4.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8112)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

Étape 4.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

Étape 4.5.2.3.1.7

Réécrivez $8112$ comme $52^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.3.1.7.1

Factorisez $2704$ à partir de $8112$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{2704 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 4.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $2704$ comme $52^{2}$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{52^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 4.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot (52 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 4.5.2.3.1.9

Déplacez $52$ à gauche de $i$ .

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 4.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 4.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 13 \pm 13 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 4.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$a = - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$ vraie.

$a = \frac{13}{4}, - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$