Algèbre Exemples

$\frac{\frac{\frac{x^{2} - 3 x - 10}{x + 3}}{2 x^{2} - 7 x - 15}}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\frac{x^{2} - 3 x - 10}{x + 3}}{2 x^{2} - 7 x - 15} \cdot \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{x + 3} \cdot \frac{1}{2 x^{2} - 7 x - 15} \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{1}{2 x^{2} - 7 x - 15} \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 x$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{1}{2 x^{2} - 7 (x) - 15} \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $3$ plus $- 10$

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + (3 - 10) x - 15} \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 3 x - 10 x - 15} \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{1}{(2 x^{2} + 3 x) - 10 x - 15} \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{1}{x (2 x + 3) - 5 (2 x + 3)} \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 3$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{1}{(2 x + 3) (x - 5)} \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x - 5$ à partir de $(2 x + 3) (x - 5)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{1}{(x - 5) (2 x + 3)} \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{x + 3} \cdot \frac{1}{(x - 5) (2 x + 3)} \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{1}{2 x + 3} \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{x + 2}{x + 3}$ par $\frac{1}{2 x + 3}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 3) (2 x + 3)} \cdot \frac{1}{x^{2} - 9}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 3) (2 x + 3)} \cdot \frac{1}{x^{2} - 3^{2}}$

Étape 6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x + 2}{(x + 3) (2 x + 3)} \cdot \frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 7

Multipliez $\frac{x + 2}{(x + 3) (2 x + 3)} \cdot \frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{x + 2}{(x + 3) (2 x + 3)}$ par $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 3) (2 x + 3) ((x + 3) (x - 3))}$

Étape 7.2

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{1} (x + 3) (2 x + 3) (x - 3)}$

Étape 7.3

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1} (2 x + 3) (x - 3)}$

Étape 7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{1 + 1} (2 x + 3) (x - 3)}$

Étape 7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{2} (2 x + 3) (x - 3)}$