Algèbre Exemples

$f (x) = e^{x} - 3$

Étape 1

Écrivez $f (x) = e^{x} - 3$ comme une équation.

$y = e^{x} - 3$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = e^{y} - 3$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $e^{y} - 3 = x$ .

$e^{y} - 3 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{y} = x + 3$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (x + 3)$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (x + 3)$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x + 3)$

Étape 3.4.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (x + 3)$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ est l’inverse de $f (x) = e^{x} - 3$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (e^{x} - 3)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln ((e^{x} - 3) + 3)$

Étape 5.2.3

Associez les termes opposés dans $(e^{x} - 3) + 3$ .

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Étape 5.2.3.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x} + 0)$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x})$

Étape 5.2.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \ln (e)$

Étape 5.2.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \cdot 1$

Étape 5.2.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\ln (x + 3))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (x + 3)) = e^{\ln (x + 3)} - 3$

Étape 5.3.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (x + 3)) = x + 3 - 3$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\ln (x + 3)) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\ln (x + 3)) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ est l’inverse de $f (x) = e^{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$