Algèbre Exemples

$m (s) = - 5 (s - 4) (s - 2) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1

Simplifiez le polynôme, puis remettez dans l’ordre de gauche à droite en commençant par le terme de degré le plus élevé.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$m (s) = (- 5 s - 5 \cdot - 4) (s - 2) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.1.2

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$m (s) = (- 5 s + 20) (s - 2) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.2

Développez $(- 5 s + 20) (s - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$m (s) = (- 5 s (s - 2) + 20 (s - 2)) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$m (s) = (- 5 s \cdot s - 5 s \cdot - 2 + 20 (s - 2)) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$m (s) = (- 5 s \cdot s - 5 s \cdot - 2 + 20 s + 20 \cdot - 2) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Multipliez $s$ par $s$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1.1

Déplacez $s$ .

$m (s) = (- 5 (s \cdot s) - 5 s \cdot - 2 + 20 s + 20 \cdot - 2) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.3.1.1.2

Multipliez $s$ par $s$ .

$m (s) = (- 5 s^{2} - 5 s \cdot - 2 + 20 s + 20 \cdot - 2) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$m (s) = (- 5 s^{2} + 10 s + 20 s + 20 \cdot - 2) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $20$ par $- 2$ .

$m (s) = (- 5 s^{2} + 10 s + 20 s - 40) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.3.2

Additionnez $10 s$ et $20 s$ .

$m (s) = (- 5 s^{2} + 30 s - 40) (s + 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.4

Développez $(- 5 s^{2} + 30 s - 40) (s + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$m (s) = (- 5 s^{2} s - 5 s^{2} \cdot 1 + 30 s \cdot s + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Multipliez $s^{2}$ par $s$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1.1

Déplacez $s$ .

$m (s) = (- 5 (s \cdot s^{2}) - 5 s^{2} \cdot 1 + 30 s \cdot s + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.5.1.1.2

Multipliez $s$ par $s^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1.2.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$m (s) = (- 5 (s \cdot s^{2}) - 5 s^{2} \cdot 1 + 30 s \cdot s + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.5.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$m (s) = (- 5 s^{1 + 2} - 5 s^{2} \cdot 1 + 30 s \cdot s + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.5.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} - 5 s^{2} \cdot 1 + 30 s \cdot s + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} - 5 s^{2} + 30 s \cdot s + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $s$ par $s$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.3.1

Déplacez $s$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} - 5 s^{2} + 30 (s \cdot s) + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.5.1.3.2

Multipliez $s$ par $s$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} - 5 s^{2} + 30 s^{2} + 30 s \cdot 1 - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $30$ par $1$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} - 5 s^{2} + 30 s^{2} + 30 s - 40 s - 40 \cdot 1) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.5.1.5

Multipliez $- 40$ par $1$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} - 5 s^{2} + 30 s^{2} + 30 s - 40 s - 40) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.5.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Additionnez $- 5 s^{2}$ et $30 s^{2}$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} + 25 s^{2} + 30 s - 40 s - 40) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.5.2.2

Soustrayez $40 s$ de $30 s$ .

$m (s) = (- 5 s^{3} + 25 s^{2} - 10 s - 40) (s + 3) (s + 5)$

Étape 1.6

Développez $(- 5 s^{3} + 25 s^{2} - 10 s - 40) (s + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$m (s) = (- 5 s^{3} s - 5 s^{3} \cdot 3 + 25 s^{2} s + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Étape 1.7

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.1

Multipliez $s^{3}$ par $s$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.1.1

Déplacez $s$ .

$m (s) = (- 5 (s \cdot s^{3}) - 5 s^{3} \cdot 3 + 25 s^{2} s + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Étape 1.7.1.1.2

Multipliez $s$ par $s^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.1.2.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$m (s) = (- 5 (s \cdot s^{3}) - 5 s^{3} \cdot 3 + 25 s^{2} s + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Étape 1.7.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$m (s) = (- 5 s^{1 + 3} - 5 s^{3} \cdot 3 + 25 s^{2} s + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Étape 1.7.1.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 5 s^{3} \cdot 3 + 25 s^{2} s + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{2} s + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Étape 1.7.1.3

Multipliez $s^{2}$ par $s$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.3.1

Déplacez $s$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 (s \cdot s^{2}) + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Étape 1.7.1.3.2

Multipliez $s$ par $s^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.3.2.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 (s \cdot s^{2}) + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Étape 1.7.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{1 + 2} + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Étape 1.7.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{3} + 25 s^{2} \cdot 3 - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Étape 1.7.1.4

Multipliez $3$ par $25$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{3} + 75 s^{2} - 10 s \cdot s - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Étape 1.7.1.5

Multipliez $s$ par $s$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.5.1

Déplacez $s$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{3} + 75 s^{2} - 10 (s \cdot s) - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Étape 1.7.1.5.2

Multipliez $s$ par $s$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{3} + 75 s^{2} - 10 s^{2} - 10 s \cdot 3 - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Étape 1.7.1.6

Multipliez $3$ par $- 10$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{3} + 75 s^{2} - 10 s^{2} - 30 s - 40 s - 40 \cdot 3) (s + 5)$

Étape 1.7.1.7

Multipliez $- 40$ par $3$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} - 15 s^{3} + 25 s^{3} + 75 s^{2} - 10 s^{2} - 30 s - 40 s - 120) (s + 5)$

Étape 1.7.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.2.1

Additionnez $- 15 s^{3}$ et $25 s^{3}$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} + 10 s^{3} + 75 s^{2} - 10 s^{2} - 30 s - 40 s - 120) (s + 5)$

Étape 1.7.2.2

Soustrayez $10 s^{2}$ de $75 s^{2}$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} + 10 s^{3} + 65 s^{2} - 30 s - 40 s - 120) (s + 5)$

Étape 1.7.2.3

Soustrayez $40 s$ de $- 30 s$ .

$m (s) = (- 5 s^{4} + 10 s^{3} + 65 s^{2} - 70 s - 120) (s + 5)$

Étape 1.8

Développez $(- 5 s^{4} + 10 s^{3} + 65 s^{2} - 70 s - 120) (s + 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$m (s) = - 5 s^{4} s - 5 s^{4} \cdot 5 + 10 s^{3} s + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.1

Multipliez $s^{4}$ par $s$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.1.1

Déplacez $s$ .

$m (s) = - 5 (s \cdot s^{4}) - 5 s^{4} \cdot 5 + 10 s^{3} s + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.1.2

Multipliez $s$ par $s^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.1.2.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$m (s) = - 5 (s \cdot s^{4}) - 5 s^{4} \cdot 5 + 10 s^{3} s + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$m (s) = - 5 s^{1 + 4} - 5 s^{4} \cdot 5 + 10 s^{3} s + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 5 s^{4} \cdot 5 + 10 s^{3} s + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.2

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{3} s + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.3

Multipliez $s^{3}$ par $s$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.3.1

Déplacez $s$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 (s \cdot s^{3}) + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.3.2

Multipliez $s$ par $s^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.3.2.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 (s \cdot s^{3}) + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{1 + 3} + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 10 s^{3} \cdot 5 + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.4

Multipliez $5$ par $10$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{2} s + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.5

Multipliez $s^{2}$ par $s$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.5.1

Déplacez $s$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 (s \cdot s^{2}) + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.5.2

Multipliez $s$ par $s^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.5.2.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 (s \cdot s^{2}) + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{1 + 2} + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{3} + 65 s^{2} \cdot 5 - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.6

Multipliez $5$ par $65$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{3} + 325 s^{2} - 70 s \cdot s - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.7

Multipliez $s$ par $s$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1.7.1

Déplacez $s$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{3} + 325 s^{2} - 70 (s \cdot s) - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.7.2

Multipliez $s$ par $s$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{3} + 325 s^{2} - 70 s^{2} - 70 s \cdot 5 - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.8

Multipliez $5$ par $- 70$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{3} + 325 s^{2} - 70 s^{2} - 350 s - 120 s - 120 \cdot 5$

Étape 1.9.1.9

Multipliez $- 120$ par $5$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 25 s^{4} + 10 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{3} + 325 s^{2} - 70 s^{2} - 350 s - 120 s - 600$

Étape 1.9.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.2.1

Additionnez $- 25 s^{4}$ et $10 s^{4}$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 15 s^{4} + 50 s^{3} + 65 s^{3} + 325 s^{2} - 70 s^{2} - 350 s - 120 s - 600$

Étape 1.9.2.2

Additionnez $50 s^{3}$ et $65 s^{3}$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 15 s^{4} + 115 s^{3} + 325 s^{2} - 70 s^{2} - 350 s - 120 s - 600$

Étape 1.9.2.3

Soustrayez $70 s^{2}$ de $325 s^{2}$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 15 s^{4} + 115 s^{3} + 255 s^{2} - 350 s - 120 s - 600$

Étape 1.9.2.4

Soustrayez $120 s$ de $- 350 s$ .

$m (s) = - 5 s^{5} - 15 s^{4} + 115 s^{3} + 255 s^{2} - 470 s - 600$

Étape 2

Le degré d’un polynôme est le degré le plus élevé de ses termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Identifiez les exposants sur les variables dans chaque terme et additionnez-les entre eux pour déterminer le degré de chaque terme.

$- 5 s^{5} \to 5$

$- 15 s^{4} \to 4$

$115 s^{3} \to 3$

$255 s^{2} \to 2$

$- 470 s \to 1$

$- 600 \to 0$

Étape 2.2

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$5$

Étape 3

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$- 5 s^{5}$

Étape 4

Le coefficient directeur d’un polynôme est le coefficient du terme principal.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$- 5 s^{5}$

Étape 4.2

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$- 5$

Étape 5

Indiquez les résultats.

Degré polynomial : $5$

Terme principal : $- 5 s^{5}$

Coefficient directeur : $- 5$