Algèbre Exemples

$\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1^{2}} - \frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 1) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{(x + 3) (x - 1)}{(x - 2) (x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{(x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - 2) - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 2 x + (- x - 1 \cdot 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + (- x - 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.6

Développez $(- x - 3) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 2 x - x (x - 1) - 3 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 2 x - x \cdot x - x \cdot - 1 - 3 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 2 x - x \cdot x - x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.7.1.2

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 6.7.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} + 1 x - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.7.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.7.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} + x - 3 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.7.2

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.8

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 2 x + 0 - 2 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.9

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$\frac{- 2 x - 2 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.10

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{- (4 x) + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 7.2

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 x) - 1 (- 3)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 x - 3)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.4.1

Réécrivez $- (4 x - 3)$ comme $- 1 (4 x - 3)$ .

$\frac{- 1 (4 x - 3)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Étape 7.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 x - 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$