Algèbre Exemples

$\sqrt{{({(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(a + b)}^{2}$ comme $(a + b) (a + b)$ .

$\sqrt{{((a + b) (a + b) - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.2

Développez $(a + b) (a + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{{(a (a + b) + b (a + b) - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{{(a \cdot a + a b + b (a + b) - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{{(a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\sqrt{{(a^{2} + a b + b a + b \cdot b - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\sqrt{{(a^{2} + a b + b a + b^{2} - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.3.2

Additionnez $a b$ et $b a$ .

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Étape 1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$\sqrt{{(a^{2} + a b + a b + b^{2} - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.3.2.2

Additionnez $a b$ et $a b$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - {(a - b)}^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.4

Réécrivez ${(a - b)}^{2}$ comme $(a - b) (a - b)$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - ((a - b) (a - b)))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.5

Développez $(a - b) (a - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a (a - b) - b (a - b)))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a \cdot a + a (- b) - b (a - b)))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b)))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} + a (- b) - b a - b (- b)))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - a b - b a - b (- b)))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.6.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.4.1

Déplacez $b$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b)))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.6.1.4.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2}))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - a b - b a + 1 b^{2}))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.6.1.6

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - a b - b a + b^{2}))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.6.2

Soustrayez $b a$ de $- a b$ .

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Étape 1.6.2.1

Déplacez $b$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - a b - 1 a b + b^{2}))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.6.2.2

Soustrayez $a b$ de $- a b$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a^{2} - 2 a b + b^{2}))}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} - (- 2 a b) - b^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 1.8

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Associez les termes opposés dans $a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\sqrt{{(2 a b + b^{2} + 0 + 2 a b - b^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 2.1.2

Additionnez $2 a b + b^{2}$ et $0$ .

$\sqrt{{(2 a b + b^{2} + 2 a b - b^{2})}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 2.1.3

Soustrayez $b^{2}$ de $b^{2}$ .

$\sqrt{{(2 a b + 2 a b + 0)}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 2.1.4

Additionnez $2 a b + 2 a b$ et $0$ .

$\sqrt{{(2 a b + 2 a b)}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 2.2

Additionnez $2 a b$ et $2 a b$ .

$\sqrt{{(4 a b)}^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $4 a b$ .

$\sqrt{{(4 a)}^{2} b^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 3.2

Appliquez la règle de produit à $4 a$ .

$\sqrt{4^{2} a^{2} b^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 a^{2} b^{2} + a^{4} - 12 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 4.2

Soustrayez $12 a^{2} b^{2}$ de $16 a^{2} b^{2}$ .

$\sqrt{a^{4} + 4 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réécrivez $a^{4}$ comme ${(a^{2})}^{2}$ .

$\sqrt{{(a^{2})}^{2} + 4 a^{2} b^{2} + 4 b^{4}}$

Étape 5.2

Réécrivez $4 b^{4}$ comme ${(2 b^{2})}^{2}$ .

$\sqrt{{(a^{2})}^{2} + 4 a^{2} b^{2} + {(2 b^{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 a^{2} b^{2} = 2 \cdot a^{2} \cdot (2 b^{2})$

Étape 5.4

Réécrivez le polynôme.

$\sqrt{{(a^{2})}^{2} + 2 \cdot a^{2} \cdot (2 b^{2}) + {(2 b^{2})}^{2}}$

Étape 5.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = a^{2}$ et $b = 2 b^{2}$ .

$\sqrt{{(a^{2} + 2 b^{2})}^{2}}$

Étape 6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a^{2} + 2 b^{2}$