Algèbre Exemples

$8 (2^{x}) = 7^{5 - 3 x}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (8 \cdot 2^{x}) = \ln (7^{5 - 3 x})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (8 \cdot 2^{x})$ comme $\ln (8) + \ln (2^{x})$ .

$\ln (8) + \ln (2^{x}) = \ln (7^{5 - 3 x})$

Étape 2.2

Développez $\ln (2^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (7^{5 - 3 x})$

Étape 3

Développez $\ln (7^{5 - 3 x})$ en déplaçant $5 - 3 x$ hors du logarithme.

$\ln (8) + x \ln (2) = (5 - 3 x) \ln (7)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (8) + x \ln (2) = 5 \ln (7) - 3 x \ln (7)$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $\ln (8)$ et $x \ln (2)$ .

$x \ln (2) + \ln (8) = 5 \ln (7) - 3 x \ln (7)$

Étape 6

Remettez dans l’ordre $5 \ln (7)$ et $- 3 x \ln (7)$ .

$x \ln (2) + \ln (8) = - 3 x \ln (7) + 5 \ln (7)$

Étape 7

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (2) + \ln (8) + 3 x \ln (7) - 5 \ln (7) = 0$

Étape 8

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.1

Soustrayez $\ln (8)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (2) + 3 x \ln (7) - 5 \ln (7) = - \ln (8)$

Étape 8.2

Ajoutez $5 \ln (7)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (2) + 3 x \ln (7) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$

Étape 9

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2) + 3 x \ln (7)$ .

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Étape 9.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) + 3 x \ln (7) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$

Étape 9.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x \ln (7)$ .

$x (\ln (2)) + x (3 \ln (7)) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$

Étape 9.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (2)) + x (3 \ln (7))$ .

$x (\ln (2) + 3 \ln (7)) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$

Étape 10

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) + 3 \ln (7)) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$ par $\ln (2) + 3 \ln (7)$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) + 3 \ln (7)) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$ par $\ln (2) + 3 \ln (7)$ .

$\frac{x (\ln (2) + 3 \ln (7))}{\ln (2) + 3 \ln (7)} = \frac{- \ln (8)}{\ln (2) + 3 \ln (7)} + \frac{5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2) + 3 \ln (7)$ .

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Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (2) + 3 \ln (7))}{\ln (2) + 3 \ln (7)} = \frac{- \ln (8)}{\ln (2) + 3 \ln (7)} + \frac{5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Étape 10.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (8)}{\ln (2) + 3 \ln (7)} + \frac{5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Étape 10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- \ln (8) + 5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Étape 10.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (8)$ .

$x = \frac{- \ln (8) + 5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Étape 10.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $5 \ln (7)$ .

$x = \frac{- \ln (8) - (- 5 \ln (7))}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Étape 10.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (8) - (- 5 \ln (7))$ .

$x = \frac{- (\ln (8) - 5 \ln (7))}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Étape 10.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.5.1

Réécrivez $- (\ln (8) - 5 \ln (7))$ comme $- 1 (\ln (8) - 5 \ln (7))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (8) - 5 \ln (7))}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Étape 10.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (8) - 5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (8) - 5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Forme décimale :

$x = 1.17137537 \dots$