Algèbre Exemples

$\cos (2 x) = \sin (x) + 1$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (2 x) - \sin (x) = 1$

Étape 1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (2 x) - \sin (x) - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Étape 2.2.2

Soustrayez $2 \sin^{2} (x)$ de $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) - \sin (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x) - 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 5

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 5.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $- 2 \sin (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $- 2 \sin (x) - 1$ égal à $0$ .

$- 2 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $- 2 \sin (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (x) = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 2}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 6.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.2.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 6.2.6.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 6.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.8

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.2.8.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 6.2.8.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.8.3

Associez les fractions.

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Étape 6.2.8.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 6.2.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.8.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 6.2.8.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 6.2.8.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 6.2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (x) (- 2 \sin (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$