Algèbre Exemples

${(1 + \sqrt{3 i})}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$1^{4} + 4 \cdot 1^{3} \sqrt{3 i} + 6 \cdot 1^{2} {\sqrt{3 i}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 4 \cdot 1^{3} \sqrt{3 i} + 6 \cdot 1^{2} {\sqrt{3 i}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 4 \cdot 1 \sqrt{3 i} + 6 \cdot 1^{2} {\sqrt{3 i}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 \cdot 1^{2} {\sqrt{3 i}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 {\sqrt{3 i}}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{3 i}}^{2}$ comme $3 i$ .

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Étape 2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 i}$ comme ${(3 i)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 {({(3 i)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 {(3 i)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 {(3 i)}^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 {(3 i)}^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 {(3 i)}^{1} + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.6.5

Simplifiez

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 6 (3 i) + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.7

Multipliez $3$ par $6$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \cdot 1 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 {\sqrt{3 i}}^{3} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.9

Réécrivez ${\sqrt{3 i}}^{3}$ comme $\sqrt{{(3 i)}^{3}}$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{{(3 i)}^{3}} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.10

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{3^{3} i^{3}} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{27 i^{3}} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.12

Factorisez $i^{2}$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{27 (i^{2} \cdot i)} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.13

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{27 (- 1 \cdot i)} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.14

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{27 \cdot - 1 i} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.15

Associez les exposants.

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Étape 2.1.15.1

Factorisez le signe négatif.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{- (27 i)} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.15.2

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{- 27 i} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.16

Réécrivez $- 27 i$ comme ${(3 i)}^{2} \cdot (3 i)$ .

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Étape 2.1.16.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 27$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{- 9 (3) i} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.16.2

Réécrivez $- 9$ comme ${(3 i)}^{2}$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{{(3 i)}^{2} \cdot 3 i} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.16.3

Ajoutez des parenthèses.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 \sqrt{{(3 i)}^{2} \cdot (3 i)} + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.17

Extrayez les termes de sous le radical.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 4 (3 i \sqrt{3 i}) + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.18

Multipliez $3$ par $4$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 (i \sqrt{3 i}) + {\sqrt{3 i}}^{4}$

Étape 2.1.19

Réécrivez ${\sqrt{3 i}}^{4}$ comme ${(3 i)}^{2}$ .

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Étape 2.1.19.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 i}$ comme ${(3 i)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {({(3 i)}^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Étape 2.1.19.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {(3 i)}^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Étape 2.1.19.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {(3 i)}^{\frac{4}{2}}$

Étape 2.1.19.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.19.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {(3 i)}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.1.19.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.19.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {(3 i)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Étape 2.1.19.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {(3 i)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Étape 2.1.19.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {(3 i)}^{\frac{2}{1}}$

Étape 2.1.19.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + {(3 i)}^{2}$

Étape 2.1.20

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + 3^{2} i^{2}$

Étape 2.1.21

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + 9 i^{2}$

Étape 2.1.22

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} + 9 \cdot - 1$

Étape 2.1.23

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$1 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i} - 9$

Étape 2.2

Soustrayez $9$ de $1$ .

$- 8 + 4 \sqrt{3 i} + 18 i + 12 i \sqrt{3 i}$