Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{1}{5} {(x - 2)}^{2} + 3$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{5} {(x - 2)}^{2} + 3$ comme une équation.

$y = \frac{1}{5} {(x - 2)}^{2} + 3$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} + 3$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} + 3 = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} + 3 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} = x - 3$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{5}$ et ${(y - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{5} = x - 3$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $5$ .

$5 \frac{{(y - 2)}^{2}}{5} = 5 (x - 3)$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{{(y - 2)}^{2}}{5} = 5 (x - 3)$

Étape 3.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

${(y - 2)}^{2} = 5 (x - 3)$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $5 (x - 3)$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(y - 2)}^{2} = 5 x + 5 \cdot - 3$

Étape 3.5.2.1.2

Multipliez $5$ par $- 3$ .

${(y - 2)}^{2} = 5 x - 15$

Étape 3.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y - 2 = \pm \sqrt{5 x - 15}$

Étape 3.7

Factorisez $5$ à partir de $5 x - 15$ .

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Étape 3.7.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{5 (x) - 15}$

Étape 3.7.2

Factorisez $5$ à partir de $- 15$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{5 x + 5 \cdot - 3}$

Étape 3.7.3

Factorisez $5$ à partir de $5 x + 5 \cdot - 3$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{5 (x - 3)}$

Étape 3.8

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.8.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y - 2 = \sqrt{5 (x - 3)}$

Étape 3.8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

Étape 3.8.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y - 2 = - \sqrt{5 (x - 3)}$

Étape 3.8.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

Étape 3.8.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

$y = - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

$y = \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

$y = - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

$y = \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

$y = - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[3, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{5 (x - 3)} + 2$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{5 (x - 3)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$5 (x - 3) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $5 (x - 3) \geq 0$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $5 (x - 3) \geq 0$ par $5$ .

$\frac{5 (x - 3)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (x - 3)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Étape 5.3.2.1.2.1.2

Divisez $x - 3$ par $1$ .

$x - 3 \geq \frac{0}{5}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$x - 3 \geq 0$

Étape 5.3.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 3$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[3, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$ se trouve sur la plage de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$ est le domaine de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

Étape 6