Algèbre Exemples

$y = (x + 4) (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Étape 1

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 2

Développez $(x + 4) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x (x + 1) + 4 (x + 1)) {(x - 1)}^{2}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x \cdot 1 + 4 (x + 1)) {(x - 1)}^{2}$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x \cdot 1 + 4 x + 4 \cdot 1) {(x - 1)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = (x^{2} + x \cdot 1 + 4 x + 4 \cdot 1) {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = (x^{2} + x + 4 x + 4 \cdot 1) {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$y = (x^{2} + x + 4 x + 4) {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.2

Additionnez $x$ et $4 x$ .

$y = (x^{2} + 5 x + 4) {(x - 1)}^{2}$

Étape 4

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$y = (x^{2} + 5 x + 4) ((x - 1) (x - 1))$

Étape 5

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x^{2} + 5 x + 4) (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x^{2} + 5 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x^{2} + 5 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = (x^{2} + 5 x + 4) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 6.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y = (x^{2} + 5 x + 4) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 6.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = (x^{2} + 5 x + 4) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = (x^{2} + 5 x + 4) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Étape 6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = (x^{2} + 5 x + 4) (x^{2} - x - x + 1)$

Étape 6.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$y = (x^{2} + 5 x + 4) (x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 7

Développez $(x^{2} + 5 x + 4) (x^{2} - 2 x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 2 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 2 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 2 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 2 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.3.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 2 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 8.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 2 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 2 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 2 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 5 x \cdot x^{2} + 5 x (- 2 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 5 (x^{2} x) + 5 x (- 2 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 8.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 5 (x^{2} x) + 5 x (- 2 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 5 x^{2 + 1} + 5 x (- 2 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 5 x^{3} + 5 x (- 2 x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 5 x^{3} + 5 \cdot (- 2 x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.7.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 5 x^{3} + 5 \cdot (- 2 (x \cdot x)) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 5 x^{3} + 5 \cdot (- 2 x^{2}) + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.8

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 5 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.9

Multipliez $5$ par $1$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 5 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x + 4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.10

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 5 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x + 4 x^{2} - 8 x + 4 \cdot 1$

Étape 8.1.11

Multipliez $4$ par $1$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 5 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x + 4 x^{2} - 8 x + 4$

Étape 8.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 8.2.1

Additionnez $- 2 x^{3}$ et $5 x^{3}$ .

$y = x^{4} + 3 x^{3} + x^{2} - 10 x^{2} + 5 x + 4 x^{2} - 8 x + 4$

Étape 8.2.2

Soustrayez $10 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = x^{4} + 3 x^{3} - 9 x^{2} + 5 x + 4 x^{2} - 8 x + 4$

Étape 8.2.3

Additionnez $- 9 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$y = x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 8 x + 4$

Étape 8.2.4

Soustrayez $8 x$ de $5 x$ .

$y = x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x + 4$

Étape 9