Algèbre Exemples

$\frac{b}{2 a^{2} - a b} - \frac{4 a}{2 a b - b^{2}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Factorisez $a$ à partir de $2 a^{2} - a b$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $a$ à partir de $2 a^{2}$ .

$\frac{b}{a (2 a) - a b} - \frac{4 a}{2 a b - b^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $a$ à partir de $- a b$ .

$\frac{b}{a (2 a) + a (- 1 b)} - \frac{4 a}{2 a b - b^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $a$ à partir de $a (2 a) + a (- 1 b)$ .

$\frac{b}{a (2 a - 1 b)} - \frac{4 a}{2 a b - b^{2}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

$\frac{b}{a (2 a - b)} - \frac{4 a}{2 a b - b^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez $b$ à partir de $2 a b - b^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $b$ à partir de $2 a b$ .

$\frac{b}{a (2 a - b)} - \frac{4 a}{b (2 a) - b^{2}}$

Étape 1.2.2

Factorisez $b$ à partir de $- b^{2}$ .

$\frac{b}{a (2 a - b)} - \frac{4 a}{b (2 a) + b (- b)}$

Étape 1.2.3

Factorisez $b$ à partir de $b (2 a) + b (- b)$ .

$\frac{b}{a (2 a - b)} - \frac{4 a}{b (2 a - b)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{b}{a (2 a - b)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{b}{a (2 a - b)} \cdot \frac{b}{b} - \frac{4 a}{b (2 a - b)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{4 a}{b (2 a - b)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{b}{a (2 a - b)} \cdot \frac{b}{b} - \frac{4 a}{b (2 a - b)} \cdot \frac{a}{a}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $a (2 a - b) b$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{b}{a (2 a - b)}$ par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{b \cdot b}{a (2 a - b) b} - \frac{4 a}{b (2 a - b)} \cdot \frac{a}{a}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{4 a}{b (2 a - b)}$ par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{b \cdot b}{a (2 a - b) b} - \frac{4 a \cdot a}{b (2 a - b) a}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $a (2 a - b) b$ .

$\frac{b \cdot b}{a b (2 a - b)} - \frac{4 a \cdot a}{b (2 a - b) a}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $b (2 a - b) a$ .

$\frac{b \cdot b}{a b (2 a - b)} - \frac{4 a \cdot a}{a b (2 a - b)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{b \cdot b - 4 a \cdot a}{a b (2 a - b)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{b^{1} b - 4 a \cdot a}{a b (2 a - b)}$

Étape 6.2

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{b^{1} b^{1} - 4 a \cdot a}{a b (2 a - b)}$

Étape 6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{b^{1 + 1} - 4 a \cdot a}{a b (2 a - b)}$

Étape 6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{b^{2} - 4 a \cdot a}{a b (2 a - b)}$

Étape 6.5

Réécrivez $4 a \cdot a$ comme ${(2 a)}^{2}$ .

$\frac{b^{2} - {(2 a)}^{2}}{a b (2 a - b)}$

Étape 6.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = b$ et $b = 2 a$ .

$\frac{(b + 2 a) (b - (2 a))}{a b (2 a - b)}$

Étape 6.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(b + 2 a) (b - 2 a)}{a b (2 a - b)}$

Étape 7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $b - 2 a$ et $2 a - b$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $b$ .

$\frac{(b + 2 a) (- 1 (- b) - 2 a)}{a b (2 a - b)}$

Étape 7.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 a$ .

$\frac{(b + 2 a) (- 1 (- b) - (2 a))}{a b (2 a - b)}$

Étape 7.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- b) - (2 a)$ .

$\frac{(b + 2 a) (- 1 (- b + 2 a))}{a b (2 a - b)}$

Étape 7.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(b + 2 a) (- 1 (2 a - b))}{a b (2 a - b)}$

Étape 7.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{(b + 2 a) (- 1 (2 a - b))}{a b (2 a - b)}$

Étape 7.1.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{(b + 2 a) \cdot (- 1)}{a b}$

Étape 7.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $b + 2 a$ .

$\frac{- 1 \cdot (b + 2 a)}{a b}$

Étape 7.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{b + 2 a}{a b}$