Algèbre Exemples

$\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 25}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 5^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x + 5, 5 - x, (x + 5) (x - 5)$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $x + 5$ est $x + 5$ lui-même.

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $5 - x$ est $5 - x$ lui-même.

$(5 - x) = 5 - x$

$(5 - x)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $x + 5$ est $x + 5$ lui-même.

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le facteur pour $x - 5$ est $x - 5$ lui-même.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le plus petit multiple commun de $x + 5, 5 - x, x + 5, x - 5$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x + 5) (5 - x) (x - 5)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$ par $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$ par $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$\frac{1}{x + 5} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$\frac{1}{x + 5} ((x + 5) ((5 - x) (x - 5))) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x + 5} ((x + 5) ((5 - x) (x - 5))) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$(5 - x) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$(- 1 (- 5) - x) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$(- 1 (- 5) - (x)) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 5) - (x)$ .

$- 1 (- 5 + x) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 1 (x - 5) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.6

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$- 1 ({(x - 5)}^{1} (x - 5)) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.7

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$- 1 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 {(x - 5)}^{1 + 1} + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 1 {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.10

Réécrivez $- 1 {(x - 5)}^{2}$ comme $- {(x - 5)}^{2}$ .

$- {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.11

Annulez le facteur commun de $5 - x$ .

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Étape 3.2.1.11.1

Factorisez $5 - x$ à partir de $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$- {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((5 - x) ((x + 5) (x - 5))) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.11.2

Annulez le facteur commun.

$- {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((5 - x) ((x + 5) (x - 5))) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.11.3

Réécrivez l’expression.

$- {(x - 5)}^{2} + x ((x + 5) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.12

Développez $(x + 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x (x - 5) + 5 (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.13

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

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Étape 3.2.1.13.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 5$ et $5 x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.13.2

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.13.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.14.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x^{2} + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.14.2

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x^{2} - 25) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.15

Appliquez la propriété distributive.

$- {(x - 5)}^{2} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.16

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.16.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1.16.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{1} x^{2} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.16.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{1 + 2} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.16.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.2.1.17

Déplacez $- 25$ à gauche de $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $(x + 5) (x - 5)$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Factorisez $(x + 5) (x - 5)$ à partir de $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5) (5 - x))$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5) (5 - x))$

Étape 3.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 2 x (5 - x)$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 2 x \cdot 5 + 2 x (- x)$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.3.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 x (- x)$

Étape 3.3.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 \cdot - 1 x \cdot x$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.1

Déplacez $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 \cdot - 1 x^{2}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x - 2 x^{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $10 x$ des deux côtés de l’équation.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x - 10 x = - 2 x^{2}$

Étape 4.1.2

Ajoutez $2 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Étape 4.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1

Réécrivez ${(x - 5)}^{2}$ comme $(x - 5) (x - 5)$ .

$- ((x - 5) (x - 5)) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Étape 4.1.3.2

Développez $(x - 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (x (x - 5) - 5 (x - 5)) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Étape 4.1.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Étape 4.1.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Étape 4.1.3.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$- (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Étape 4.1.3.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$- (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Étape 4.1.3.3.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$- (x^{2} - 10 x + 25) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Étape 4.1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Étape 4.1.3.5

Simplifiez

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Étape 4.1.3.5.1

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

$- x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Étape 4.1.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$- x^{2} + 10 x - 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Étape 4.1.4

Associez les termes opposés dans $- x^{2} + 10 x - 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2}$ .

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Étape 4.1.4.1

Soustrayez $10 x$ de $10 x$ .

$- x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x + 0 + 2 x^{2} = 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $- x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x$ et $0$ .

$- x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x + 2 x^{2} = 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $- x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x = 0$

Étape 4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{3} + x^{2} - 25 x - 25 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{3} + x^{2}) - 25 x - 25 = 0$

Étape 4.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x + 1) - 25 (x + 1) = 0$

Étape 4.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - 25) = 0$

Étape 4.2.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Étape 4.2.5

Factorisez.

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Étape 4.2.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$(x + 1) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Étape 4.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x + 5) (x - 5) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 4.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 4.5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4.6

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 4.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x + 5) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 5, 5$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 25}$ vrai.

$x = - 1$