Algèbre Exemples

$(y - 1) (y - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1

Simplifiez $(y - 1) (y - 2) (y - 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (y - 1) (y - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(y - 1) (y - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.3

Développez $(y - 1) (y - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(y (y - 2) - 1 (y - 2)) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 (y - 2)) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$(y^{2} + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.4.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $y$ .

$(y^{2} - 2 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.4.1.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$(y^{2} - 2 y - y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$(y^{2} - 2 y - y + 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.4.2

Soustrayez $y$ de $- 2 y$ .

$(y^{2} - 3 y + 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.5

Développez $(y^{2} - 3 y + 2) (y - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y^{2} y + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.6

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1.1

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1.1.1

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1.1.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.6.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.6.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y^{3} + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.6.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $y^{2}$ .

$y^{3} - 3 \cdot y^{2} - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1.3.1

Déplacez $y$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 (y \cdot y) - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.6.1.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 y^{2} + 9 y + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.6.1.5

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 y^{2} + 9 y + 2 y - 6 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.6.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.2.1

Soustrayez $3 y^{2}$ de $- 3 y^{2}$ .

$y^{3} - 6 y^{2} + 9 y + 2 y - 6 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 1.6.2.2

Additionnez $9 y$ et $2 y$ .

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Soustrayez $y^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} = - 3 y^{2} + 2 y$

Étape 2.2

Ajoutez $3 y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} + 3 y^{2} = 2 y$

Étape 2.3

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} + 3 y^{2} - 2 y = 0$

Étape 2.4

Associez les termes opposés dans $y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} + 3 y^{2} - 2 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Soustrayez $y^{3}$ de $y^{3}$ .

$- 6 y^{2} + 11 y - 6 + 0 + 3 y^{2} - 2 y = 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $- 6 y^{2} + 11 y - 6$ et $0$ .

$- 6 y^{2} + 11 y - 6 + 3 y^{2} - 2 y = 0$

Étape 2.5

Additionnez $- 6 y^{2}$ et $3 y^{2}$ .

$- 3 y^{2} + 11 y - 6 - 2 y = 0$

Étape 2.6

Soustrayez $2 y$ de $11 y$ .

$- 3 y^{2} + 9 y - 6 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 y^{2} + 9 y - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$- 3 y^{2} + 9 y - 6 = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $- 3$ à partir de $9 y$ .

$- 3 y^{2} - 3 (- 3 y) - 6 = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $- 3$ à partir de $- 6$ .

$- 3 y^{2} - 3 (- 3 y) - 3 \cdot 2 = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (y^{2}) - 3 (- 3 y)$ .

$- 3 (y^{2} - 3 y) - 3 \cdot 2 = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (y^{2} - 3 y) - 3 (2)$ .

$- 3 (y^{2} - 3 y + 2) = 0$

Étape 3.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Factorisez $y^{2} - 3 y + 2$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 3 ((y - 2) (y - 1)) = 0$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 (y - 2) (y - 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 2 = 0$

$y - 1 = 0$

Étape 5

Définissez $y - 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $y - 2$ égal à $0$ .

$y - 2 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2$

Étape 6

Définissez $y - 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $y - 1$ égal à $0$ .

$y - 1 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 1$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 3 (y - 2) (y - 1) = 0$ vraie.

$y = 2, 1$