Algèbre Exemples

$\frac{2 x}{x^{2} - 3 x - 4} + \frac{3}{5 x^{2} - 20 x}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 x}{(x - 4) (x + 1)} + \frac{3}{5 x^{2} - 20 x}$

Étape 1.2

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x^{2} - 20 x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x^{2}$ .

$\frac{2 x}{(x - 4) (x + 1)} + \frac{3}{5 x (x) - 20 x}$

Étape 1.2.2

Factorisez $5 x$ à partir de $- 20 x$ .

$\frac{2 x}{(x - 4) (x + 1)} + \frac{3}{5 x (x) + 5 x (- 4)}$

Étape 1.2.3

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x (x) + 5 x (- 4)$ .

$\frac{2 x}{(x - 4) (x + 1)} + \frac{3}{5 x (x - 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 x}{(x - 4) (x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5 x}{5 x}$ .

$\frac{2 x}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{5 x}{5 x} + \frac{3}{5 x (x - 4)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{3}{5 x (x - 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 x}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{5 x}{5 x} + \frac{3}{5 x (x - 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 4) (x + 1) \cdot 5 x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 x}{(x - 4) (x + 1)}$ par $\frac{5 x}{5 x}$ .

$\frac{2 x (5 x)}{(x - 4) (x + 1) (5 x)} + \frac{3}{5 x (x - 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{5 x (x - 4)}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 x (5 x)}{(x - 4) (x + 1) (5 x)} + \frac{3 (x + 1)}{5 x (x - 4) (x + 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) (x + 1) (5 x)$ .

$\frac{2 x (5 x)}{5 x (x + 1) (x - 4)} + \frac{3 (x + 1)}{5 x (x - 4) (x + 1)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $5 x (x - 4) (x + 1)$ .

$\frac{2 x (5 x)}{5 x (x + 1) (x - 4)} + \frac{3 (x + 1)}{5 x (x + 1) (x - 4)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x (5 x) + 3 (x + 1)}{5 x (x + 1) (x - 4)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \cdot 5 x \cdot x + 3 (x + 1)}{5 x (x + 1) (x - 4)}$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 \cdot 5 (x \cdot x) + 3 (x + 1)}{5 x (x + 1) (x - 4)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 \cdot 5 x^{2} + 3 (x + 1)}{5 x (x + 1) (x - 4)}$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (x + 1)}{5 x (x + 1) (x - 4)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}{5 x (x + 1) (x - 4)}$

Étape 6.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 x + 3}{5 x (x + 1) (x - 4)}$