Algèbre Exemples

${(x^{- 1} + y^{- 1})}^{2} {(x y)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{1}{x} + y^{- 1})}^{2} {(x y)}^{2}$

Étape 1.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})}^{2} {(x y)}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})}^{2}$ comme $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ .

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) {(x y)}^{2}$

Étape 2

Développez $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{1}{x} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + \frac{1}{y} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})) {(x y)}^{2}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{y} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})) {(x y)}^{2}$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}) {(x y)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$(\frac{1}{x \cdot x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}) {(x y)}^{2}$

Étape 3.1.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(\frac{1}{x^{1} x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}) {(x y)}^{2}$

Étape 3.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(\frac{1}{x^{1} x^{1}} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}) {(x y)}^{2}$

Étape 3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\frac{1}{x^{1 + 1}} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}) {(x y)}^{2}$

Étape 3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}) {(x y)}^{2}$

Étape 3.1.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{y}$ .

$(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}) {(x y)}^{2}$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{1}{x}$ .

$(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x y} + \frac{1}{y x} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}) {(x y)}^{2}$

Étape 3.1.4

Multipliez $\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{1}{y}$ .

$(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x y} + \frac{1}{y x} + \frac{1}{y \cdot y}) {(x y)}^{2}$

Étape 3.1.4.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x y} + \frac{1}{y x} + \frac{1}{y^{1} y}) {(x y)}^{2}$

Étape 3.1.4.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x y} + \frac{1}{y x} + \frac{1}{y^{1} y^{1}}) {(x y)}^{2}$

Étape 3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x y} + \frac{1}{y x} + \frac{1}{y^{1 + 1}}) {(x y)}^{2}$

Étape 3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x y} + \frac{1}{y x} + \frac{1}{y^{2}}) {(x y)}^{2}$

Étape 3.2

Additionnez $\frac{1}{x y}$ et $\frac{1}{y x}$ .

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Étape 3.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x y} + \frac{1}{x y} + \frac{1}{y^{2}}) {(x y)}^{2}$

Étape 3.2.2

Additionnez $\frac{1}{x y}$ et $\frac{1}{x y}$ .

$(\frac{1}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x y} + \frac{1}{y^{2}}) {(x y)}^{2}$

Étape 4

Associez $2$ et $\frac{1}{x y}$ .

$(\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x y} + \frac{1}{y^{2}}) {(x y)}^{2}$

Étape 5

Appliquez la règle de produit à $x y$ .

$(\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x y} + \frac{1}{y^{2}}) (x^{2} y^{2})$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) + \frac{2}{x y} (x^{2} y^{2}) + \frac{1}{y^{2}} (x^{2} y^{2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) + \frac{2}{x y} (x^{2} y^{2}) + \frac{1}{y^{2}} (x^{2} y^{2})$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) + \frac{2}{x y} (x^{2} y^{2}) + \frac{1}{y^{2}} (x^{2} y^{2})$

Étape 7.1.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + \frac{2}{x y} (x^{2} y^{2}) + \frac{1}{y^{2}} (x^{2} y^{2})$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x y$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $x y$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} + \frac{2}{x y} (x y (x y)) + \frac{1}{y^{2}} (x^{2} y^{2})$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} + \frac{2}{x y} (x y (x y)) + \frac{1}{y^{2}} (x^{2} y^{2})$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + 2 (x y) + \frac{1}{y^{2}} (x^{2} y^{2})$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} + 2 (x y) + \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x^{2})$

Étape 7.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} + 2 (x y) + \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x^{2})$

Étape 7.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + 2 (x y) + x^{2}$

Étape 8

Déplacez $y^{2}$ .

$2 x y + x^{2} + y^{2}$

Étape 9

Remettez dans l’ordre $2 x y$ et $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2}$