Algèbre Exemples

$x^{5} + 2 x^{3} + x = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} + 2 x^{3} + x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x = 0$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x = 0$

Étape 1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 = 0$

Étape 1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 = 0$

Étape 1.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Étape 1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Étape 1.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Étape 1.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 1.4.3

Réécrivez le polynôme.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 1.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$x {(u + 1)}^{2} = 0$

Étape 1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Étape 3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Définissez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez le $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 4.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 4.2.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 4.2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 4.2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 4.2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, i, - i$

Étape 6