Algèbre Exemples

$- \frac{2}{n + 4} - \frac{n^{2}}{n^{2} - 16}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- \frac{2}{n + 4} - \frac{n^{2}}{n^{2} - 4^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = n$ et $b = 4$ .

$- \frac{2}{n + 4} - \frac{n^{2}}{(n + 4) (n - 4)}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{2}{n + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{n - 4}{n - 4}$ .

$- \frac{2}{n + 4} \cdot \frac{n - 4}{n - 4} - \frac{n^{2}}{(n + 4) (n - 4)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2}{n + 4}$ par $\frac{n - 4}{n - 4}$ .

$- \frac{2 (n - 4)}{(n + 4) (n - 4)} - \frac{n^{2}}{(n + 4) (n - 4)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 (n - 4) - n^{2}}{(n + 4) (n - 4)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 n - 2 \cdot - 4 - n^{2}}{(n + 4) (n - 4)}$

Étape 4.2

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$\frac{- 2 n + 8 - n^{2}}{(n + 4) (n - 4)}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- n^{2} - 2 n + 8}{(n + 4) (n - 4)}$

Étape 4.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 4.4.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 n$ .

$\frac{- n^{2} - 2 (n) + 8}{(n + 4) (n - 4)}$

Étape 4.4.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $2$ plus $- 4$

$\frac{- n^{2} + (2 - 4) n + 8}{(n + 4) (n - 4)}$

Étape 4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- n^{2} + 2 n - 4 n + 8}{(n + 4) (n - 4)}$

Étape 4.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- n^{2} + 2 n) - 4 n + 8}{(n + 4) (n - 4)}$

Étape 4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{n (- n + 2) + 4 (- n + 2)}{(n + 4) (n - 4)}$

Étape 4.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- n + 2$ .

$\frac{(- n + 2) (n + 4)}{(n + 4) (n - 4)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $n + 4$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- n + 2) (n + 4)}{(n + 4) (n - 4)}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- n + 2}{n - 4}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- n$ .

$\frac{- (n) + 2}{n - 4}$

Étape 5.3

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (n) - 1 (- 2)}{n - 4}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (n) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (n - 2)}{n - 4}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.1

Réécrivez $- (n - 2)$ comme $- 1 (n - 2)$ .

$\frac{- 1 (n - 2)}{n - 4}$

Étape 5.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{n - 2}{n - 4}$