Algèbre Exemples

${(1 + \sqrt{3} i)}^{2} = a + i b$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $a + i b = {(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$ .

$a + i b = {(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez ${(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez.

$a + i b = 0 + 0 + {(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez ${(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)$ .

$a + i b = (1 + \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)$

Étape 2.3

Développez $(1 + \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$a + i b = 1 (1 + \sqrt{3} i) + \sqrt{3} i (1 + \sqrt{3} i)$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$a + i b = 1 \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i (1 + \sqrt{3} i)$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$a + i b = 1 \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i \cdot 1 + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Étape 2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$a + i b = 1 + 1 (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i \cdot 1 + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $\sqrt{3} i$ par $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i \cdot 1 + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Étape 2.4.1.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Étape 2.4.1.4

Multipliez $\sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$ .

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Étape 2.4.1.4.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} i i$

Étape 2.4.1.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} i i$

Étape 2.4.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1 + 1} i i$

Étape 2.4.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i i$

Étape 2.4.1.4.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i)$

Étape 2.4.1.4.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i^{1})$

Étape 2.4.1.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i^{1 + 1}$

Étape 2.4.1.4.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i^{2}$

Étape 2.4.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.4.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}$

Étape 2.4.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}$

Étape 2.4.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Étape 2.4.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Étape 2.4.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{1} i^{2}$

Étape 2.4.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3 i^{2}$

Étape 2.4.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3 \cdot - 1$

Étape 2.4.1.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i - 3$

Étape 2.4.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$a + i b = - 2 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i$

Étape 2.4.3

Additionnez $\sqrt{3} i$ et $\sqrt{3} i$ .

$a + i b = - 2 + 2 \sqrt{3} i$

Étape 3

Soustrayez $i b$ des deux côtés de l’équation.

$a = - 2 + 2 \sqrt{3} i - i b$