Algèbre Exemples

$(\frac{a^{2}}{a + n} - \frac{a^{3}}{a^{2} + n^{2} + 2 a n}) \div (\frac{a}{a + n} - \frac{a^{2}}{a^{2} - n^{2}})$

Étape 1

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{\frac{a^{2}}{a + n} - \frac{a^{3}}{a^{2} + n^{2} + 2 a n}}{\frac{a}{a + n} - \frac{a^{2}}{a^{2} - n^{2}}}$

Étape 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2})$ .

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\frac{a^{2}}{a + n} - \frac{a^{3}}{a^{2} + n^{2} + 2 a n}}{\frac{a}{a + n} - \frac{a^{2}}{a^{2} - n^{2}}}$ par $\frac{(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2})}{(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2})}$ .

$\frac{(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2})}{(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2})} \cdot \frac{\frac{a^{2}}{a + n} - \frac{a^{3}}{a^{2} + n^{2} + 2 a n}}{\frac{a}{a + n} - \frac{a^{2}}{a^{2} - n^{2}}}$

Étape 2.2

Associez.

$\frac{(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) (\frac{a^{2}}{a + n} - \frac{a^{3}}{a^{2} + n^{2} + 2 a n})}{(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) (\frac{a}{a + n} - \frac{a^{2}}{a^{2} - n^{2}})}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) \frac{a^{2}}{a + n} + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) (- \frac{a^{3}}{a^{2} + n^{2} + 2 a n})}{(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) \frac{a}{a + n} + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) (- \frac{a^{2}}{a^{2} - n^{2}})}$

Étape 4

Simplifiez en annulant.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $a + n$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $a + n$ à partir de $(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2})$ .

$\frac{(a + n) ((a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2})) \frac{a^{2}}{a + n} + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) (- \frac{a^{3}}{a^{2} + n^{2} + 2 a n})}{(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) \frac{a}{a + n} + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) (- \frac{a^{2}}{a^{2} - n^{2}})}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a^{2} + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) (- \frac{a^{3}}{a^{2} + n^{2} + 2 a n})}{(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) \frac{a}{a + n} + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) (- \frac{a^{2}}{a^{2} - n^{2}})}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $a^{2} + n^{2} + 2 a n$ .

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Étape 4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{a^{3}}{a^{2} + n^{2} + 2 a n}$ dans le numérateur.

$\frac{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a^{2} + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) \frac{- a^{3}}{a^{2} + n^{2} + 2 a n}}{(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) \frac{a}{a + n} + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) (- \frac{a^{2}}{a^{2} - n^{2}})}$

Étape 4.2.2

Factorisez $a^{2} + n^{2} + 2 a n$ à partir de $(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2})$ .

$\frac{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a^{2} + (a^{2} + n^{2} + 2 a n) ((a + n) (a^{2} - n^{2})) \frac{- a^{3}}{a^{2} + n^{2} + 2 a n}}{(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) \frac{a}{a + n} + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) (- \frac{a^{2}}{a^{2} - n^{2}})}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun.

Étape 4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a^{2} + (a + n) (a^{2} - n^{2}) (- a^{3})}{(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) \frac{a}{a + n} + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) (- \frac{a^{2}}{a^{2} - n^{2}})}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $a + n$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $a + n$ à partir de $(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2})$ .

$\frac{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a^{2} + (a + n) (a^{2} - n^{2}) (- a^{3})}{(a + n) ((a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2})) \frac{a}{a + n} + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) (- \frac{a^{2}}{a^{2} - n^{2}})}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a^{2} + (a + n) (a^{2} - n^{2}) (- a^{3})}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) (- \frac{a^{2}}{a^{2} - n^{2}})}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $a^{2} - n^{2}$ .

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Étape 4.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{a^{2}}{a^{2} - n^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a^{2} + (a + n) (a^{2} - n^{2}) (- a^{3})}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) \frac{- a^{2}}{a^{2} - n^{2}}}$

Étape 4.4.2

Factorisez $a^{2} - n^{2}$ à partir de $(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2})$ .

$\frac{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a^{2} + (a + n) (a^{2} - n^{2}) (- a^{3})}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a^{2} - n^{2}) ((a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n)) \frac{- a^{2}}{a^{2} - n^{2}}}$

Étape 4.4.3

Annulez le facteur commun.

Étape 4.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a^{2} + (a + n) (a^{2} - n^{2}) (- a^{3})}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $(a^{2} - n^{2}) a^{2}$ à partir de $(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a^{2} + (a + n) (a^{2} - n^{2}) (- a^{3})$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $(a^{2} - n^{2}) a^{2}$ à partir de $(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a^{2}$ .

$\frac{(a^{2} - n^{2}) a^{2} (a^{2} + n^{2} + 2 a n) + (a + n) (a^{2} - n^{2}) (- a^{3})}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.1.2

Factorisez $(a^{2} - n^{2}) a^{2}$ à partir de $(a + n) (a^{2} - n^{2}) (- a^{3})$ .

$\frac{(a^{2} - n^{2}) a^{2} (a^{2} + n^{2} + 2 a n) + (a^{2} - n^{2}) a^{2} ((a + n) (- a))}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.1.3

Factorisez $(a^{2} - n^{2}) a^{2}$ à partir de $(a^{2} - n^{2}) a^{2} (a^{2} + n^{2} + 2 a n) + (a^{2} - n^{2}) a^{2} ((a + n) (- a))$ .

$\frac{(a^{2} - n^{2}) a^{2} (a^{2} + n^{2} + 2 a n + (a + n) (- a))}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = n$ .

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} (a^{2} + n^{2} + 2 a n + (a + n) (- a))}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} (a^{2} + n^{2} + 2 a n + a (- a) + n (- a))}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} (a^{2} + n^{2} + 2 a n - a \cdot a + n (- a))}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} (a^{2} + n^{2} + 2 a n - a \cdot a - n a)}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.6

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.1

Déplacez $a$ .

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} (a^{2} + n^{2} + 2 a n - (a \cdot a) - n a)}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.6.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} (a^{2} + n^{2} + 2 a n - a^{2} - n a)}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.7

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} (n^{2} + 2 a n + 0 - n a)}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.8

Additionnez $n^{2}$ et $0$ .

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} (n^{2} + 2 a n - n a)}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.9

Soustrayez $n a$ de $2 a n$ .

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Étape 5.9.1

Déplacez $n$ .

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} (n^{2} + 2 a n - a n)}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.9.2

Soustrayez $a n$ de $2 a n$ .

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} (n^{2} + 1 a n)}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.10

Réécrivez $n^{2} + 1 a n$ en forme factorisée.

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Étape 5.10.1

Factorisez $n$ à partir de $n^{2} + 1 a n$ .

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Étape 5.10.1.1

Factorisez $n$ à partir de $n^{2}$ .

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} (n \cdot n + 1 a n)}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.10.1.2

Factorisez $n$ à partir de $1 a n$ .

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} (n \cdot n + n (1 a))}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.10.1.3

Factorisez $n$ à partir de $n \cdot n + n (1 a)$ .

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} (n (n + 1 a))}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.10.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} (n (n + a))}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} n (n + a)}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.11

Associez les exposants.

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Étape 5.11.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(a + n) (a - n) a^{2} n (a + n)}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.11.2

Élevez $a + n$ à la puissance $1$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n ({(a + n)}^{1} (a + n))}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.11.3

Élevez $a + n$ à la puissance $1$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n ({(a + n)}^{1} {(a + n)}^{1})}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{1 + 1}}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 5.11.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Factorisez $(a^{2} + n^{2} + 2 a n) a$ à partir de $(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $(a^{2} + n^{2} + 2 a n) a$ à partir de $(a^{2} + n^{2} + 2 a n) (a^{2} - n^{2}) a$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) a (a^{2} - n^{2}) + (a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})}$

Étape 6.1.2

Factorisez $(a^{2} + n^{2} + 2 a n) a$ à partir de $(a + n) (a^{2} + n^{2} + 2 a n) (- a^{2})$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) a (a^{2} - n^{2}) + (a^{2} + n^{2} + 2 a n) a ((a + n) (- a))}$

Étape 6.1.3

Factorisez $(a^{2} + n^{2} + 2 a n) a$ à partir de $(a^{2} + n^{2} + 2 a n) a (a^{2} - n^{2}) + (a^{2} + n^{2} + 2 a n) a ((a + n) (- a))$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{(a^{2} + n^{2} + 2 a n) a (a^{2} - n^{2} + (a + n) (- a))}$

Étape 6.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.2.1

Réorganisez les termes.

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{(a^{2} + 2 a n + n^{2}) a (a^{2} - n^{2} + (a + n) (- a))}$

Étape 6.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 a n = 2 \cdot a \cdot n$

Étape 6.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{(a^{2} + 2 \cdot a \cdot n + n^{2}) a (a^{2} - n^{2} + (a + n) (- a))}$

Étape 6.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = n$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(a + n)}^{2} a (a^{2} - n^{2} + (a + n) (- a))}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(a + n)}^{2} a (a^{2} - n^{2} + a (- a) + n (- a))}$

Étape 6.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(a + n)}^{2} a (a^{2} - n^{2} - a \cdot a + n (- a))}$

Étape 6.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(a + n)}^{2} a (a^{2} - n^{2} - a \cdot a - n a)}$

Étape 6.6

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1

Déplacez $a$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(a + n)}^{2} a (a^{2} - n^{2} - (a \cdot a) - n a)}$

Étape 6.6.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(a + n)}^{2} a (a^{2} - n^{2} - a^{2} - n a)}$

Étape 6.7

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(a + n)}^{2} a (- n^{2} + 0 - n a)}$

Étape 6.8

Additionnez $- n^{2}$ et $0$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(a + n)}^{2} a (- n^{2} - n a)}$

Étape 6.9

Factorisez $n$ à partir de $- n^{2} - n a$ .

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Étape 6.9.1

Factorisez $n$ à partir de $- n^{2}$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(a + n)}^{2} a (n (- n) - n a)}$

Étape 6.9.2

Factorisez $n$ à partir de $- n a$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(a + n)}^{2} a (n (- n) + n (- a))}$

Étape 6.9.3

Factorisez $n$ à partir de $n (- n) + n (- a)$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(a + n)}^{2} a (n (- n - a))}$

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(a + n)}^{2} a n (- n - a)}$

Étape 6.10

Associez les exposants.

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Étape 6.10.1

Factorisez $- 1$ à partir de $a$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(- 1 (- a) + n)}^{2} a n (- n - a)}$

Étape 6.10.2

Factorisez $- 1$ à partir de $n$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(- 1 (- a) - 1 (- n))}^{2} a n (- n - a)}$

Étape 6.10.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- a) - 1 (- n)$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(- 1 (- a - n))}^{2} a n (- n - a)}$

Étape 6.10.4

Appliquez la règle de produit à $- 1 (- a - n)$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(- 1)}^{2} {(- a - n)}^{2} a n (- n - a)}$

Étape 6.10.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{1 {(- a - n)}^{2} a n (- n - a)}$

Étape 6.10.6

Multipliez ${(- a - n)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(- a - n)}^{2} a n (- n - a)}$

Étape 6.10.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{{(- a - n)}^{2} a n (- a - n)}$

Étape 6.10.8

Élevez $- a - n$ à la puissance $1$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{a n ({(- a - n)}^{2} {(- a - n)}^{1})}$

Étape 6.10.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{a n {(- a - n)}^{2 + 1}}$

Étape 6.10.10

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}}{a n {(- a - n)}^{3}}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $a^{2}$ et $a$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $a$ à partir de $(a - n) a^{2} n {(a + n)}^{2}$ .

$\frac{a ((a - n) a n {(a + n)}^{2})}{a n {(- a - n)}^{3}}$

Étape 7.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $a$ à partir de $a n {(- a - n)}^{3}$ .

$\frac{a ((a - n) a n {(a + n)}^{2})}{a (n {(- a - n)}^{3})}$

Étape 7.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a ((a - n) a n {(a + n)}^{2})}{a (n {(- a - n)}^{3})}$

Étape 7.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - n) a n {(a + n)}^{2}}{n {(- a - n)}^{3}}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $n$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - n) a n {(a + n)}^{2}}{n {(- a - n)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - n) a {(a + n)}^{2}}{{(- a - n)}^{3}}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à ${(a + n)}^{2}$ et ${(- a - n)}^{3}$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $a$ .

$\frac{(a - n) a {(- 1 (- a) + n)}^{2}}{{(- a - n)}^{3}}$

Étape 7.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $n$ .

$\frac{(a - n) a {(- 1 (- a) - 1 (- n))}^{2}}{{(- a - n)}^{3}}$

Étape 7.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- a) - 1 (- n)$ .

$\frac{(a - n) a {(- 1 (- a - n))}^{2}}{{(- a - n)}^{3}}$

Étape 7.3.4

Appliquez la règle de produit à $- 1 (- a - n)$ .

$\frac{(a - n) a ({(- 1)}^{2} {(- a - n)}^{2})}{{(- a - n)}^{3}}$

Étape 7.3.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{(a - n) a (1 {(- a - n)}^{2})}{{(- a - n)}^{3}}$

Étape 7.3.6

Multipliez ${(- a - n)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{(a - n) a {(- a - n)}^{2}}{{(- a - n)}^{3}}$

Étape 7.3.7

Factorisez ${(- a - n)}^{2}$ à partir de $(a - n) a {(- a - n)}^{2}$ .

$\frac{{(- a - n)}^{2} ((a - n) a)}{{(- a - n)}^{3}}$

Étape 7.3.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.8.1

Factorisez ${(- a - n)}^{2}$ à partir de ${(- a - n)}^{3}$ .

$\frac{{(- a - n)}^{2} ((a - n) a)}{{(- a - n)}^{2} (- a - n)}$

Étape 7.3.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(- a - n)}^{2} ((a - n) a)}{{(- a - n)}^{2} (- a - n)}$

Étape 7.3.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - n) a}{- a - n}$

Étape 7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{(a - n) a}{- (a) - n}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- n$ .

$\frac{(a - n) a}{- (a) - (n)}$

Étape 7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a) - (n)$ .

$\frac{(a - n) a}{- (a + n)}$

Étape 7.7

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 7.7.1

Réécrivez $- (a + n)$ comme $- 1 (a + n)$ .

$\frac{(a - n) a}{- 1 (a + n)}$

Étape 7.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(a - n) a}{a + n}$

Étape 7.7.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(a - n) a}{a + n}$ .

$- \frac{a (a - n)}{a + n}$