Algèbre Exemples

$\frac{2 x}{x - 2} < 5$

Étape 1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2 x}{x - 2} - 5 < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{2 x}{x - 2} - 5$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 x}{x - 2} - 5 \cdot \frac{x - 2}{x - 2} < 0$

Étape 2.2

Associez $- 5$ et $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{- 5 (x - 2)}{x - 2} < 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x - 5 (x - 2)}{x - 2} < 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 5 x - 5 \cdot - 2}{x - 2} < 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$\frac{2 x - 5 x + 10}{x - 2} < 0$

Étape 2.4.3

Soustrayez $5 x$ de $2 x$ .

$\frac{- 3 x + 10}{x - 2} < 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 10}{x - 2} < 0$

Étape 2.6

Réécrivez $10$ comme $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 10)}{x - 2} < 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (3 x - 10)}{x - 2} < 0$

Étape 2.8

Réécrivez $- (3 x - 10)$ comme $- 1 (3 x - 10)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 10)}{x - 2} < 0$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x - 10}{x - 2} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$3 x - 10 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 4

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 10$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $3 x = 10$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 10$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Étape 6

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{10}{3}$

$x = 2$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = \frac{10}{3}, 2$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{3 x - 10}{x - 2}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x - 10}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2$

$2 < x < \frac{10}{3}$

$x > \frac{10}{3}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0)}{(0) - 2} < 5$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < \frac{10}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < \frac{10}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (3)}{(3) - 2} < 5$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $6$ n’est pas inférieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{10}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{10}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (6)}{(6) - 2} < 5$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $3$ est inférieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2$ Vrai

$2 < x < \frac{10}{3}$ Faux

$x > \frac{10}{3}$ Vrai

$x < 2$ Vrai

$2 < x < \frac{10}{3}$ Faux

$x > \frac{10}{3}$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 2$ ou $x > \frac{10}{3}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < 2 or x > \frac{10}{3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2) \cup (\frac{10}{3}, \infty)$

Étape 14