Algèbre Exemples

$\frac{4 + \sqrt{27}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{4 + \sqrt{9 (3)}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{4 + \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 \sqrt{9 (3)}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 (3 \sqrt{3})}$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}}$ par $\frac{2 + 9 \sqrt{3}}{2 + 9 \sqrt{3}}$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + 9 \sqrt{3}}{2 + 9 \sqrt{3}}$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}}$ par $\frac{2 + 9 \sqrt{3}}{2 + 9 \sqrt{3}}$ .

$\frac{(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}{(2 - 9 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}$

Étape 4.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}{4 + 18 \sqrt{3} - 18 \sqrt{3} - 81 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

$\frac{(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}{- 239}$

Étape 5

Développez $(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (2 + 9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} (2 + 9 \sqrt{3})}{- 239}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} (2 + 9 \sqrt{3})}{- 239}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} \cdot 2 + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 + 4 (9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} \cdot 2 + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Étape 6.1.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} \cdot 2 + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Étape 6.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Étape 6.1.4

Multipliez $3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})$ .

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 239}$

Étape 6.1.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 239}$

Étape 6.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 239}$

Étape 6.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 239}$

Étape 6.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 {\sqrt{3}}^{2}}{- 239}$

Étape 6.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 239}$

Étape 6.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 239}$

Étape 6.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{- 239}$

Étape 6.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{- 239}$

Étape 6.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{1}}{- 239}$

Étape 6.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3}{- 239}$

Étape 6.1.6

Multipliez $27$ par $3$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 81}{- 239}$

Étape 6.2

Additionnez $8$ et $81$ .

$\frac{89 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{- 239}$

Étape 6.3

Additionnez $36 \sqrt{3}$ et $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{89 + 42 \sqrt{3}}{- 239}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{89 + 42 \sqrt{3}}{239}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{89 + 42 \sqrt{3}}{239}$

Forme décimale :

$- 0.67676206 \dots$