Algèbre Exemples

$1 < | x + 2 | < 3$

Étape 1

Déterminez les valeurs $x$ qui rendent $1 < | x + 2 |$ vrai.

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Étape 1.1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$| x + 2 | > 1$

Étape 1.2

Écrivez $| x + 2 | > 1$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.2.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x + 2 \geq 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 2$

Étape 1.2.3

Dans la partie où $x + 2$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x + 2 > 1$

Étape 1.2.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x + 2 < 0$

Étape 1.2.5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x < - 2$

Étape 1.2.6

Dans la partie où $x + 2$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (x + 2) > 1$

Étape 1.2.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x + 2 > 1 & x \geq - 2 \\ - (x + 2) > 1 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 1.2.8

Simplifiez $- (x + 2) > 1$ .

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Étape 1.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} x + 2 > 1 & x \geq - 2 \\ - x - 1 \cdot 2 > 1 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${\begin{cases} x + 2 > 1 & x \geq - 2 \\ - x - 2 > 1 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 1.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 1.3.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x > 1 - 2$

Étape 1.3.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x > - 1$

Étape 1.4

Résolvez $- x - 2 > 1$ pour $x$ .

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Étape 1.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 1.4.1.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- x > 1 + 2$

Étape 1.4.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- x > 3$

Étape 1.4.2

Divisez chaque terme dans $- x > 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- x > 3$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{3}{- 1}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{3}{- 1}$

Étape 1.4.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{3}{- 1}$

Étape 1.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.3.1

Divisez $3$ par $- 1$ .

$x < - 3$

Étape 1.5

Déterminez l’union des solutions.

$x < - 3$ ou $x > - 1$

Étape 2

Déterminez les valeurs $x$ qui rendent $| x + 2 | < 3$ vrai.

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Étape 2.1

Écrivez $| x + 2 | < 3$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x + 2 \geq 0$

Étape 2.1.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 2$

Étape 2.1.3

Dans la partie où $x + 2$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x + 2 < 3$

Étape 2.1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x + 2 < 0$

Étape 2.1.5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x < - 2$

Étape 2.1.6

Dans la partie où $x + 2$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (x + 2) < 3$

Étape 2.1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x + 2 < 3 & x \geq - 2 \\ - (x + 2) < 3 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 2.1.8

Simplifiez $- (x + 2) < 3$ .

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Étape 2.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} x + 2 < 3 & x \geq - 2 \\ - x - 1 \cdot 2 < 3 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 2.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${\begin{cases} x + 2 < 3 & x \geq - 2 \\ - x - 2 < 3 & x < - 2 \end{cases}$

Étape 2.2

Résolvez $x + 2 < 3$ quand $x \geq - 2$ .

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Étape 2.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 2.2.1.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x < 3 - 2$

Étape 2.2.1.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$x < 1$

Étape 2.2.2

Déterminez l’intersection de $x < 1$ et $x \geq - 2$ .

$- 2 \leq x < 1$

Étape 2.3

Résolvez $- x - 2 < 3$ quand $x < - 2$ .

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Étape 2.3.1

Résolvez $- x - 2 < 3$ pour $x$ .

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Étape 2.3.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 2.3.1.1.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- x < 3 + 2$

Étape 2.3.1.1.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$- x < 5$

Étape 2.3.1.2

Divisez chaque terme dans $- x < 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- x < 5$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{5}{- 1}$

Étape 2.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} > \frac{5}{- 1}$

Étape 2.3.1.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{5}{- 1}$

Étape 2.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.2.3.1

Divisez $5$ par $- 1$ .

$x > - 5$

Étape 2.3.2

Déterminez l’intersection de $x > - 5$ et $x < - 2$ .

$- 5 < x < - 2$

Étape 2.4

Déterminez l’union des solutions.

$- 5 < x < 1$

Étape 3

La solution est l’intersection des intervalles.

$x < - 3$ ou $x > - 1$

$- 5 < x < 1$

Étape 4

Déterminez l’intersection.

$- 5 < x < - 3$ ou $- 1 < x < 1$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 5 < x < - 3 or - 1 < x < 1$

Notation d’intervalle :

$(- 5, - 3) \cup (- 1, 1)$

Étape 6